初二下册数学公式归纳总结苏教版.doc

初二下册数学公式归纳总结苏教版1 、单独的一个数或一个字母也是单向式2、单向式中的数字因数叫做这个单向式的系数3、一个单向式中，所有字母的指数的和叫做这个单向式的次数4、几个单向式的和叫做多项式在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项5、一般地，多项式里次数的项的次数，就是这个多项式的次数6、单项式和多项式统称整式7、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项几个常数项也是同类项8、吧多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项9、几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减号连接：然后去括号，合并同类项10、幂的乘方，底数不变，指数相同11、同底数幂相乘，底数不变，指数相加12、幂的乘方，底数不变，指数相乘13、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘14、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式15、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加16、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

17、两个数的和与这两个数的差的积＝这两个数的平方差这个公式叫做（乘法的）平方差公式18、两数和（或差）的平方＝它们的平方和，加（或减）它们积的 2倍这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式19、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号20、同底数幂相加，底数不变，指数相减21、任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.22、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式23、多项式除以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加24、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式25、ma+mb+m，c它的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 M叫做这个多项式各项的公因式这样就把 ma+mb+m分c 解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另一个因式（ a＋b+c）是 ma+mb+m除c 以 m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法26、两个数的平方，等于这两个数的和与这两个数差的积。

27、两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话那就是利用 x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p) 其中 PQ为常数1. 因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止而且能够肯定一个多项式要能分解因式，则结果，因为：数域 F 上的次数大于零的多项式 f(x), 如果不计零次因式的差异，那么 f(x) 能够的分解为以下形式：f(x)=aP1k1(x)P2k2(x) ⋯ Piki(x)*, 其中 α 是 f(x) 的次项的系数，P1(x),P2(x) ⋯ ⋯ Pi （x）是首 1 互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2 ⋯ ,t) 是 f(x) 的 Ki 重因式或叫做多项式 f(x) 的典型分解式证明：可参见《高代》 P52-53初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止2. 方法介绍2.1 提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，实行因式分解，注意要每项都必须有公因式例 15x3+10x2+5x解析显然每项均含有公因式 5x 故可考虑提取公因式 5x，接下来剩下x2+2x+1 仍可继续分解。

解：原式 =5x(x2+2x+1)=5x(x+1)22.2 公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，实行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=(a+b)(a-b)a 2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a 3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2a12+a22+⋯ +an2+2a1a2+⋯ +2an- 1an=(a1+a2+⋯ +an)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)an+bn=(a+b)(an-1-an- 2b+⋯ +bn-1)(n为奇数 )说明由因式定理，即对一元多项式 f(x) ，若 f(b)=0 ，则一定含有一次因式 x-b 可判断当 n为偶数时，当 a=b,a=-b时，均有 an-bn=0 故an-bn 中一定含有 a+b，a-b 因式例 2 分解因式：① 64x6- y12②1+x+x2+⋯ +x15解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6 ）(8x3+y6)=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)②1+x+x2+⋯ +x15==(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)注多项式分解时，先分构造公式再解。

2.3 分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式实行合理分组，达到顺利分解的目的当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定例 1 分解因式： x15+m12+m9+m6+m3+1解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)=(m3+1)(m12+m6++1)=(m3+1)[(m6+1)2-m6]=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)例 2 分解因式： x4+5x3+15x-9解析可根据系数特征实行分组解原式=（x4-9 ）+5x3+15x=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)=(x2+3)(x2+5x-3)2.4 十字相乘法对于形如 ax2+bx+c 结构特征的二次三项式能够考虑用十字相乘法 ,即 x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c) 当 x2 项系数不为 1 时，同样也可用十字相乘实行操作例 3 分解因式：① x2-x- 6②6x2-x-12解①1x21x-3原式=（x+2）(x-3)②2x-33x4原式=（2x-3 ）(3x+4)注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法2.5 双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3 ，也能够使用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含 y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含 x 的一次项例 5 分解因式① 4x2 -4xy-3y2-4x+10y-3② ②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ ab+b2+a -b-2④ ④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=（2x-3y+1 ）(2x+y-3)2x-3y 12x y-3②原式=（x-5y+2 ）(x+2y-1)x-5y 2x 2y-1③原式=(b+1)(a+b-2)0ab 1a b-2④原式=（2x-3y+z ）(3x+y-2z)2x-3yz3x-y-2z说明：③式补上 oa2, 可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)④式三个字母满足二次六项式，把 -2z2 看作常数分解即可：2.6 拆法、添项法对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，能够将其中的某项拆成二项之差或之和再应用分组法，公式法等实行分解因式，其中拆项、添项方法不是，可解有很多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法例 6 分解因式： x3+3x2-4解析法一：可将 -4 拆成-1 ，-3 即（x3-1 ）+(3x2-3)法二：添 x4, 再减 x4,. 即（x4+3x2-4）+(x3-x4)法三：添 4x, 再减 4x 即，（x3+3x2-4x ）+(4x-4)法四：把 3x2 拆成 4x2-x2, 即（x3-x2 ）+(4x2-4)法五：把 x3 拆为，4x2-3x3 即(4x3-4)-(3x3-3x2) 等解（选择法四）原式 =x3-x2+4x2-4=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x-1)(x+2)22．7 换元法换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子使用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解能够起到简化的效果。

例 7 分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到(x+1)(x+4)=x2+5x+4(x+2)(x+3)=x2+5x+6故可用换元法分解此题解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120令 y=x2+5x+5 则原式=(y-1)(y+1)-120=y2-121=(y+11)(y-11)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)注在此也可令 x2+5x+4=y 或 x2+5x+6=y 或 x2+5x=y 请认真比较体会哪种换法更简单？2．8 待定系数法待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法 , 如果能确定代数式变形后的字母框架 ,仅仅字母的系数高不能确定 ,则可先用未知数表示字母系数 , 然后根据多项式的恒等性质列出 n 个含有特殊确定系数的方程(组) ，解出这个方程 (组) 求出待定系数待定系数法应用广泛 , 在此只研究它的因式分解中的一些应用例 7 分解因式： 2a2+3ab-9b2+14a+3b+20分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法先分解 2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)解设可设原式 =(2a-3b+m)(a+3b+n)=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯比较两个多项式（即原式与 *式）的系数m+2n=14(1)m=43m-3n=-3(2)=>mn=20(3)n=5∴原式 =（2x-3b+4 ）(a+3b+5)注对于（ *）式因为对a,b 取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求 m,n令 a=1,b=0,m+2n=14m=4=>令 a=0,b=1,m=n=-1n=52.9 因式定理、综合除法分解因式对于整系数一元多项式 f(x)=anxn+an-1xn- 1+⋯ +a1x+a0由因式定理可先判。