精品文档极值理论在风险价值度量中的应用.doc

基于极值理论的风险价值度量 1厦门大学经济学院金融系郑振龙 * 王保合 **2005年 4月* 郑振龙， 1966 年出生，男，汉族，金融学博士 ，美国加州大学洛杉矶分校富布莱特研究学者 ，现任厦门大学经济学院金融系教授、博士生导师研究领域：金融工程、金融市场和资产定价Tel： 0592-2181915 ， 13328311066；Fax：0592-5920923 ；Email: zlzheng@ ；通讯地址：厦门大学金融系， 361005 王保合，男， 1977 年 8 月出生，祖籍河北，汉族，金融工程博士生，主要从事资产定价和风险管理研究， 在国内外公开发行的学术刊物上发表了 3 篇学术论文Tel： 0592-2192609 ；Email: baohewang0592@；通讯地址：厦门大学金融系， 361005基于极值理论的风险价值度量内容摘要 ：本文在传统单纯采用极值理论描述股票收益尾部特征的基础上， 把 ARMA－ AGARCH模型和极值理论有机结合起来首先利用 ARMA－ AGARCH模型捕获股票收益数据中的自相关和异方差现象， 采用 GMM估计模型参数， 获得近似独立同分布的残差序列， 再利用传统的极值理论对经过 ARMA－ AGARCH模型筛选过的残差进行极值分析，并采用 Bootstrap 方法给出了极值理论估计出的 VaR和 ES 在某一置信水平下的置信区间，改进了似然比率法估计置信区间时，极值事件的小样本而造成的估计误差。

最后，我们对中国上证指数自 1990 年 12月 19 日到 2004 年 9 月 30 日的日收益率进行了实证研究，发现模型在不忽视历史信息的情况下，考虑到目前的市场环境，更准确估计上证指数现在所面临的风险关键词： POT模型、 ARMA－ AGARCH模型、 GMM估计1、引言自 20 世纪 70 年代以来， 金融市场的波动日益加剧， 一些金融危机事件频繁发生， 这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价值的暴跌变得尤为敏感 金融资产收益序列的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑， 因此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间，对于金融机构改进风险度量方法、 制定投资策略， 国家制定风险监管制度等都具有重大意义目前，对金融资产收益序列的估计方法主要包括历史模拟法、参数方法和非参数方法历史模拟是一种最简单的方法， 它利用收益序列的经验分布来近似真实分布， 但是该方法不1感谢教育部新世纪优秀人才支持计划、教育部优秀青年教师资助计划“中国信用风险度量和控制模型”项目、教育部人文社会科学研究 2003 年度博士点基金研究项目“中国利率类金融产品的设计和定价”（ 03JB790016）、福建省社科“十五”规划（第二期）项目（ 2003B069 ）的资助。

感谢林海博士的建议本文观点仅代表作者个人观点能对过去观察不到的数据进行外推，在运用中受到限制 参数方法假设收益率符合某种特定的分布如：正态分布、学生t 分布、 GED分布等，通过假定的分布与样本均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益率序列符合某种特定的过程如：RW、ARMA、GARCH等，它可以在一定程度上解释收益序列的尖峰厚尾和波动率聚类现象，具有比较好的整体拟合效果不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法进行准确的预测 非参数方法则主要包括极值理论（ EVT），它与前面的两种方法有着明显的区别， 它并不研究收益序列的整体分布情况，只关心收益序列的尾部特征，利用广义帕累托分布来逼近收益序列的尾部分布针对上面介绍的三种方法， Danielsson and de Vries（ 1997）以美国 7 支股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况，发现 EVT模型的表现明显优于参数方法和历史模拟方法Longin （ 2000）认为极值理论的优点在于它没有假设特定的模型，而是让数据自己去选择，对突发事件具有较强的预见性，而 GARCH族模型作为估计风险的一种方法，只能反映当时的波动率情况， 缺乏对突发事件的预见性。

另外， Christoffersenand Goncalves（ 2004），Gilli and Kellezi（ 2003）， Jondeau and Rockinger（ 1999）和 Neftci （ 2000）也分别采用极值理论对金融收益序列的尾部特征进行了分析和比较但不幸的是，Lee and Saltoglu（2003 ）运用 EVT模型对亚洲股票市场上的5 个指数进行分析时，发现历史模拟法、 参数方法虽然没有一个在各个市场表现是绝对优于其它模型的，但都比 EVT模型的表现好 我们认为 EVT 模型之所以在亚洲股票市场上表现不好，主要是因为亚洲股票市场是新兴的股票市场，与美国成熟的股票市场相比收益序列具有较强的序列相关和条件异方差现象，不能满足EVT模型要求的假定条件，造成 EVT模型较大的估计误差本文把 ARMA－ AGARCH模型和极值理论有机结合起来来度量 VaR首先利用 ARMA－ AGARCH模型捕获股票收益数据中的自相关和异方差现象；其次利用传统的极值理论对经过 ARMA－AGARCH模型筛选过的残差进行极值分析；最后采用 Bootstrap 方法给出极值理论估计出的VaR和 ES在某一置信水平下的置信区间。

相比国内外众多的相关文献， 本文的优点在于：（ 1）克服了由于序列的非独立同分布对极值理论的应用造成的误差； （ 2）采用 GMM估计模型参数，不对残差做任何的分布假定， 保持了残差原有的特征， 为下一步极值理论准确刻画残差的内在规律提供了前提； （ 3）在给出了 VaR和 ES 估计值的同时，确定其置信区间本文共分为六个部分，第二部分介绍我们要采用的风险度量模型 VaR和 ES；第三部分介绍ARMA－ AGARCH模型的基本特征，以及模型的 GMM参数估计方法；第四部分介绍极值理论和残差序列符合广义帕累托分布的假定下估计 VaR、 ES，及二者置信区间的方法；第五部分对中国上证指数自 1990年 12月 19日－ 2004年9月 30日的日收益率进行实证分析，给出上证指数的VaR和 ES的估计值，及置信区间；第六部分是一个简短的结论2、 VaR和 ES 风险度量模型 ：VaR是一种被广泛接受的风险度量工具， 它定义为在一定的置信水平下， 某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失 假设代表某一金融资产的损失， 其密度函数为 f ( x) ，则 VaR可以表示为：VaRpinf{ x | f (Xx) p}（ 1）当密度函数f ( x)为连续函数时也可以表示为：VaRpF 1( p) ，其中F1 为损失分布F (x)的反函数。

该模型计算简单， 在组合损失符合椭圆分布时， 可以比较有效的控制组合的风险 但是VaR模型只关心损失超过 VaR值的频率，而不关心超过 VaR值的分布情况，在处理收益序列的非椭圆分布及投资组合发生改变时表现不稳定，不是一致性风险度量模型ES( p ) 定义为在一定的置信水平下，某一资产或投资组合在未来特定时间内的损失超过VaRp 的条件期望，它满足次可加性、齐次性、单调性、平移不变性条件，是一致性风险度量模型假设为某金融资产的损失，其分布函数为F (x) ，则 ES( p) ( X ) 可以表示为：ES( p ) ( X )111( )dF (F 1( ))1F（ 2）p p其中， F1 ()inf{ x | F ( x)} ，当损失的密度函数连续时，ES( p) 可以简单的表示为：ESpE{ x | F (x)p} 本文将分别选用这两个模型来度量金融资产的风险，给出在修正过的极值模型下，二者的估计值和置信区间3. ARMA－ AGARCH模型3.1 ARMA－ AGARCH模型的性质pqARMA模型： ytyij t jti ti 1j 1其中，是期望为 0，方差为常数的独立同分布随机变量。

ARMA(p,q) 模型假设的条件期望存在，条件方差为常数，通常可以用来解释时间序列的相关性，并可以对时间序列进行短期预测但是模型中条件方差为常数的假设，使其无法有效地解释金融时间序列中经常观察到的波动率聚类现象，为此，我们在模型中进一步引入GARCH效应我们令tzhtt，其中是期望为0，方差为常数的独立同分布随机变量，是在时刻的条件方差本文采用通常使用的GARCH(1,1)模型，则条件方差可以表示为：2a0a122htt1 b th，它的引入不仅可以捕获到金融时间序列的波动率聚类现象，1而且可以在一定程度上改善尖峰厚尾现象：k 4E t4Ezt4Eht4Ezt4kz4( E t2 )2(Ezt2 )2 ( Eht2 )2( Ezt2 )2其中和分别表示和的峰度，的峰度明显大于等于的峰度另外，在金融时间序列中我们还可以明显观察到波动率变动的非对称性：未预期到的收益率的正负对收益率的波动率具有不同的影响为了刻画金融时间序列波动率变动的这一非对称性，我们引入Glosten et al（1993 ）提出的 AGARCH(1,1)模型：ht2a0a1 t21 a2 sgn( t 1) t2bht2111，其中 sgn( t )0tt0，0在这个模型中我们可以通过asgn(t1) 项来捕获未预期到的收益率的正负变动对波动率变2。