3第三章单元类型及单元刚度矩阵.doc
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第三章单元类型及单元刚度矩阵一、 形状函数类型及其特征1. Langrange型形状函数2. Hermite型形状函数二、 一维单元及其单元刚度阵1. 杆单元 2.三次梁单元三、 二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元 2.矩形单元四、 三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元2. 四面体单元3.曲线等参元第三章单元类型及单元刚度矩阵有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即/=1这是对单元位移U（X）的近似在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量山，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数Ni为形状函数根据单元 广义节点位移的不同，形映函数分两类：Langrange 和Hermite 型瞬一、形状函数类型及其特征1. Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定2. Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征7 N一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择二维单元的帕斯卡三角形xy2X2X3一、形状函数类型及其特征三维的帕斯卡三角形T ：3B：o形状函数应该满足以下条件m£n,（｛X」） = 1A2.Z=13.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同, 一维单元又可分为杆单元和梁单元劉 二、一维单元及其单元刚度阵1•杆单元",杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用， 将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元•一次杆单元0 x =兀1 X = X-单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,釆用局部 坐标舎记£ = 乂/厶并取i为X坐标的原点，贝！|有F ►Oi⑴ 1 1二、一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•一次杆单元根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系O对于上述问题，已知节点位移为5, Uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即N、— (Z — x)/Z; N° — x/lx~ 1 x~0 「…n2^Uiu —仏 + Ur n u - \M0-1 1 /-0 u 1仏J得N]=人；“2 =血况（JV）= ｛人久2卜厂 、uxV 乙丿>1.杆单元 •一次杆单元duG —du dg1 dul[dN,dN2~hlO — -dxdg dx~ l d^~~ l\_d^dg、 ?< z丿代入営，有令入= g 所以单元内点位移为 单元应变劉 二、一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•一次杆单元所以，几何矩阵为 [B] = [-1/1 1/Z；单元应力为b = eE^^^\p\ = 弹性矩阵单元刚度矩阵通式为ke]^ A[DfB]ix = ai[bY[dIb] ea[ 1 -i =_r -i i代入，得这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！二、一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•一次杆单元x1x1当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时,其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为:■ ■GJ n■ 1-1"ke— p■ ■l-11叫1(1)二、一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•二次杆单元单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1、3、2。
单元位移可以根据抛物同样令4 = 1 — £；几2 = £线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即F F C ► ► .O O O ►i ⑴ (3) j(2)x17 N⑥ 二、一维单元及其单元刚度阵•二次杆单元1・杆单元(x-|)(x-/) (x-O)(x-j) a_o)d讥 X)= J 坷 + —— 112 + “3(--)(-/) /(-) (-)(--) 2 2 2 2令 (2一1)(—石-人“3 =4^(1 —£) = 4 儿兄 2x1一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•二次杆单元ux所以单元内点位移为况(x) = {N] N2 N)单元应变UrJ n一维单元及其单元刚度阵几何矩阵为0卜][-(4人-1) (422 -1)（4儿一4几2）］7 N⑥ 二、一维单元及其单元刚度阵1・杆单元•二次杆单元单元应力为b = wE [D] = E单元刚度矩阵元素的计算7 11 7-8 -8-8-816S [-(° 入? x 7可以直接应用[2斗几;〃x = (%2 — %!)jy(m!)(n!)(m + n + 1)!二、一维单元及其单元刚度阵k\21.杆单元 •二次杆单元元素的计算[•/ 9 EA[)(4A2-l)EA N (422 -1)(422 - l)dx = 2^x16/x = —x7” q FA(42. 4A2)2dx= xl6'o 1 2 31二、一维单元及其单元刚度阵*21 =心2上31 =心2 “32 =心31.杆单元 •二次杆单元元素的计算〔(4 人一1)(4人—4人皿=竽 x (-8)「(4^2 1)(44 )dx = EAx( 8)其余元素利用对称性可求得二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移 为V、0 ,这时一个单元有四个自由度，形状函数为ZZ三次多项式,即使用三次Hermite插值多项式。
■・yZ一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元Hermite位移插值多项式5 十)(—1—+(X - 0) (Z7 )(77-0 1丿乜+ (—) (口钿0-7 1 7-0 2叽他k孙卩咄一维单元及其单元刚度阵一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元其中Q v /“严(1 + —)(^p)2 = (1 十 2g)(g — I)2 7V2=x(l-y)2=Z^(l-^)2N.= 1_2(：—/)(亨)2=(3_2疔)疔2AA4=(X-/)(y)2=/(^-l)^27 N二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）d2vS = _歹~~~7 dx2~d2Nxd2N2d2N.d2N4\\£ = —ydx2dx2dx2
在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一 次和二次三角形单元以及一次四边形单元1.三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元•一次三角形单元第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标 的一次多项式，推导采用直角。
