第14章 热力学第二定律解答.docx

第 14 章 热力学第二定律14・1若准静态卡诺循环中的工作物质不是理想气体，而是服从状态方程p = aT4/3 (a 为常数)的物质，且其内能满足 U = aT4V .试证明该可逆卡诺循环的效率公式仍为耳二1 -T /T .在p-V图上画出其卡诺循环.21解：卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程构成根据状态方程p = aT4/3，等温过程即为等压过程对于一般过程，根据内能公式和状态方程，有d Q = dU - d-W=aT 4 dV + 4aT 3VdT +1 aT 4 dV34 T4V(dV 3 dT)=一 aT 4V ( + 3 ).对于绝热过程，d-Q = 0，故dV dT+ 3 = 0，VT3 V T即绝热过程满足T3V = C，或用压强表示为p3V4 = C故卡诺循环在p-V图上表示见图4下面计算Q , Q由于都是等温过程，故d Q = -aT 4 dV因此，1 2 344Q =— aT4(V — V ), Q =— aT4(V — V )1 3 1 1 4 2 3 2 2 3又状态 1－2 和 3－4 由绝热过程联系起来，有T3V =T 3V , T3V =T 3V 1 1 2 2 1 4 2 3故Q T (T 3V —T 3V ) T2 2 2 2 2 3 2oQ T (T 3V —T 3V ) T1 1 1 1 1 4 1故耳=1—Q = 1—T。

Q T1114.2 一热机工作于50°C与250°C之间，在一循环中对外输出的净功为1・05x 105J，求这一热机在一循环中所吸入和放出的最小热量.解：当该循环为卡诺循环时，吸热Q和放热Q都达到最小值，故此时=1 - Q2 = 1 —Q1TTT1同时，Qi - Q2 = A故Q ATQ = —1 T -T12ATT -T12将 T = 323K, T = 523K12W = 1.05 x 105J代入，可得Q = 2.75x105j, Q = 1.70x105j1214.3 一制冰机低温部分的温度为-10°C，散热部分的温度为35°C，所耗功率为1500W, 制冰机的制冷系数是逆向卡诺循环制冷机制冷系数的1/3 •今用此制冰机将25C的水制成 -10C的冰，贝ij制冰机每小时能制冰多少千克？已知冰的熔解热为80cal*-1，冰的比热为0.50ca悴-1 严1.1 2633 308 - 263=1.95解：制冷系数Q 1 T& = 2 = 2—A 3 T - T12故制冷机每小时从低温部分吸热Q =£ A = 1.95 x 1500 x 3600J = 10.4 x 106J又由2Q = c mAt + mL + c mAt ，2 水 1 冰 2c At + L + c At水 1 冰 210.4 x 106(1x 25 + 80 + 0.5 x 10) x 4.18 x 103kg = 22.6kg14.4已知在p=1atm，T=273.15K时，冰融化为水时的溶解热为Q=80cal^g-1,求一千克的 冰化为水时熵的变化．80 x 103 x 4.18~273.15-J/K = 1.2 x 103 J/K解：在冰化成水的过程中，温度保持不变，故as=f d-Q=Q=mL=TTT114.5 一直立的气缸被活塞封闭有1mol理想气体，活塞上装有重物，活塞及重物的总质 量为m，活塞面积为S，重力加速度为g，气体的定容摩尔热容量CV为常量.活塞与气缸的 热容及活塞与气缸之间的摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的．初始时活塞位置固定，气体 体积为V。

温度为T活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置．不考虑活塞外的环境压强．试问：（1）气体的温度是升高，降低，还是保持不变？2）气体的熵是增加，减少，还是保持不变？（3）计算气体的末态温度 T．解：（1）按照热力学第一定律AU = A + Q，而Q =0, A < 0，故AU <0又因为理想气体内能仅为温度的函数，故气体温度降低2)由于此过程是一个不可逆绝热过程，所以气体的熵增加mg(3)这是一个不可逆等压过程，外界压强恒定，p二 ，该压强同时也是气体末态S压强整个过程外界对气体做的功为A 二-pAV 二-p(V - V )二-pV + mg V =_RT + mg V0 S 0 S 0又对于lmol理想气体，有AU = C (T -T )根据前面的分析AU二A，可得V0其中丫 = C /CpV14.6 水的比热是4.18xlO3j-kg-1 -K-1.lkg、［=0°C的水与一个t2=100°C的大热源相接触，直至水温达到t21)这是可逆过程还是不可逆过程？对于水的该过程来说，积分2 dTTQ等于多少？(2 )计算水的熵增1T解：(1)这是不可逆过程积分J2攀 中的T恒指外界(热源)温度。

故对于该过程,1TcM At水cM At水4.18 x103 x1x1OO373J/K = 1.12 x 103J/K(2)设计这样的可逆过程，让水依次与温度高出一无穷小量的热源接触，直至其温度达到t2于是2 d- Q T McdT T 373AS =J2 =JT2 = cM In 2 = 4.18 x 103 x1x ln J/K = 1.30 x103j/K水 1 T T T T 27311可见，对于不可逆过程，14.7理想气体经历一顺时针可逆循环，其循环过程在T-S图上表示为从300K，1X106J ・K-1的状态等温地变为300K，5X105J・K-1的状态，然后等熵地变为400K，5X105J ・K-1的状态，最后按一条直线变回到300K，1X106J・K-】的状态.试求它对外所做的功.解： 循环过程如图所示 对于准静态可逆过程，TdS二d-Q，故T-S图中过程曲线下的面积就是系统所吸收的 热量于是，1 一2过程为等温过程，熵是减小的，吸热为Q 二T(S -S )二300x(5x105 - 1x10e)J = -1.5x108j.12 1 2 1I过程为等熵(绝热)过程，Q23 = 0。

一1的过程方程为一条直线，吸热容易计算:Q =f TdS 二 1(T + T )(S31 2 1 3 1 3-S )二1 (300 + 400) x (1x106 - 5 x105)J 二 1.75 x108jo32于是，系统对外做功为A二Q + Q + Q =-1.5x108j +1.75x108j二2.5x107j12 23 3114・8在一绝热容器中，质量为m，温度为T的液体和相同质量、但温度为T的液体，12 在一定压强下混合后达到新的平衡态，求系统从初态到终态熵的变化，并说明熵增加，设已 知液体定压比热为常数C.p解：混合前后的内能是不变的设混合后的平衡温度为T,则mc （T -T） = mc （T -T ） ，p 1 p 2故T = （T + T ）/2混合前后液体1和2的熵变分别为12AS = mc In , AS = mc In - <1 p T 2 p T12于是，混合前后的总熵变为AS = mc ln(T ) = mc ln (£ +p TT p 4TT1 2 1 2因为（T + T2）2 > 4TT2,所以AS >°，即熵总是增加的这符合熵增加原理14・9如图所示，一摩尔理想气体氢气（（=1.4 ）在状态1的参量为V1=20L，T1=300K.在 状态3的参量为匕=40L, -TOK.图中1—3为等温线，1—4为绝热线，1—2和4—3均为等压线，2—3为等容线，试分别用三条路径计算丁气：（1） 1—2—3.⑵1—3（3） 1—4—3．C C +R解: Y = C = vc = L4，故VV57C = R, C = R。

V 2 p 2V(1) 1—2 为等压过程，T T = 600K2—32 V 11为等容过程故在“1——2——3”过程中的熵变为S - S31dQ+(J dQ = c 6J0 dT+c习题14.9图300 dTJ ——=R ln2T(1)(2)300600T T p T V2）“1—3”为等温过程，其熵变为S - S」dQ 二 R In Z 二 R ln23 1 T V（1） 1（3）1—4 为绝热过程，满足TV y-i 二 TV y-i1 1 4 44—3 为等压过程，有TV4 = 4TV33联立两式，考虑到T = T = 300K，得T = 2 7 x300K则熵变为1 3 4S -S 二（S -S ） + （S -S ）二 0 + f dQ 二-RJ3dT 二-Rxln2；二 Rln23 1 4 1 3 4 T 2 T 24 T414.10 —实际制冷机工作于两恒温热源之间，热源温度分别为T]=400K, T2=200K.设 工作物质在每一循环中，从低温热源吸收热量为200cal，向高温热源放热600cal. （1）在 工作物质进行的每一循环中，外界对制冷机作了多少功？（2） 制冷机经过一循环后，热源 和工作物质熵的总变化（AS）是多少？ （3）如设上述制冷机为可逆机，经过一循环后， 热源和工作物质熵的总变化应是多少？解：（1）外界对制冷机做功A = Q — Q = 400cal = 1.7x103j。

12（2）制冷机经过一循环后，工作物质回到原始状态，故其熵不变系统熵的总变化为两热 源的熵增之和：AS 二 Q + 2 =T T12600x 4.18J/K —400200 x 4.18200J/K 二 2J/K（3）可逆绝热过程总熵不变所以如果上述制冷机为可逆机，热源和工作物质熵的总变化 为零此时，200cal和600cal两个数据中至少有一个需要修改14.11绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成A, B两室.活塞在气缸内可无摩擦地自由滑动. A， B 内各有 1mol 双原子分子理想气体.初始时气体处于平衡，它们的压强、体 积、温度分别为p ,V ,T . A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p，0 0 0 0试问：（1）最后A，B两室内气体温度分别是多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？（3）加热器传给A室气体多少热量？（4） A，B两室的总熵变是多少？解：（1）B经历的是准静态绝热过程设B的末态温度与体积分别为T，V ； A的末BB7温度与体积分别为T A，V双原子分子理想气体的Y二，则应该有A A 5（2p ）y-1 p Y—10 = 0—T Y T YB0所以B室气体温度为另外，听=2PoVbY，可以得到=2 V = 0.61V ,00而 V = 2V -V = 1.39V 。

A 0 B 0对A应用理想气体物态方程，得到A室气体温度为2）3）T = 2P0VA T = 2 X 1.39T = 2.78TA p V 0 0 0 00由于气缸和活塞都是绝热的。