双曲线的相关知识点.docx

标准方程图形a - 土=i(a >o, b >0)挡一栏=10 > 0, b > 0) b2高考双曲线知识点归纳2.双曲线的标准方程及其几何性质范围x < -a或x > a, y e Ry < -a或y > a, x e R顶点(+a,0)(0, ± a)对称性关于x轴，y轴，原点对称实轴长为2a，虚轴长为2b隹点 八、、八、、F1(-c,0), F.cQ)«(0,-c), F(0, c)焦距焦距为翼=2c(c > 0), c2 = a2 + b2离心率e = C (e>1) e越大,双曲线开口越开阔a准线方程,a2 x = ± —c,a2 y = ± —c渐近线y = ± bx ay = ± ax b通径2b 2a2b 2a焦半径PF = ex + aPF = ex - aPF = |ey + aPF = |ey -a3. 等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为"->2 =人(人0)，离心率为 切，渐近线方程为> =±工(互相垂直)4. 共轭双曲线：双曲线挡—= w >膈> 0)的共轭双曲线是挡-挡=0 > 0,b > 0)，性质如a 2 b2 b 2 a 2下：⑴双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆；⑶双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为e ,e，则有上+ — = 1和e + e > 2<2 .1 2 e 2 e 2 1 25. 双曲线系：⑴与双曲线挡—站= i(a > 0,b > 0)共渐近线的双曲线系方程为挡-站= X(a > 0,b > 0,摭0)， a2 b2 a2 b2它们的渐近线为E —挡=0(a > 0,b > 0) a2 b2⑵与双曲线挡-已=i(a > 0b > 0)共焦点的双曲线系方程为 a2 b2X 2 > 2 Z 、— =1(a > 0,b > 0, k > —a2)a 2 + k b 2 — k6•点与双曲线的位置关系⑴点P(X。

)在双曲线挡 —^~ = 1(a > 0, b > 0)内 o ^r- 一 b- > l(a > 0, b > 0)⑵点P(x0,*)在双曲线挡 —^- = 1(a > 0, b > 0)上 o ¥ - b- = 1(a > 0, b > 0)⑶点 p (%, *)在双曲线挡—b. = 1(a > 0,b > 0)外 o # -b- < 1(a > 0,b > 0)7. 直线与双曲线的位置关系可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X (或Y)的一元二次(或一兀一次)方程的解来判定[有两个公共点△> 0直线与双曲线相父o |有一个公共点(直线与渐近线平行)；直线与双曲线相切 △ = 0 (只有一个公共点)；直线与双曲线相离o A< 0 (无公共点)若 AB 为双曲线挡—22 = 10 > °, b > 0)的弦,A(x , y), B(x , y )，弦中点 M (x , y ) a 2 b 2 3 ) 1 1 2 2 0 0①弦长 l =寸1 + k2 x — x = J1 + — y — y (k A 0)1 2 ' k 2 1 27 b 2 x② k = 0AB a 2 y 0③直线AB的方程为：y — y0 =竺^ (x — x0) a y。

箸(x - x0)④直线AB的垂直平分线方程为：y — y0 =—8.焦点三角形：双曲线上的点P(x ,y )与两焦点)构成的的三角形称为焦点三角形ZFPF =0r1 -I r1r2 ^=2 rr sin 0 =⑴ 0 = arccos⑵SnPF1F2sin 01 — cos 000=r20b 2=b ^cot2=cy0l双曲线典型题专练双曲线定义x 2 y 22. 若k e R，则" k > 3 ”是“方程—右 =1表示双曲线”的 ( )k — 3 k + 3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 . x2 y23. 已知P是双曲线一—《=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x — y = 0 .设a 2 9F、%分别为4.已知点M(—3,0),双曲线的左、右焦点.若| PF2| = 3，则PF] =N(3,0), B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A . x 2 — — = 1 (x > 1) B . x 2 — — = 1 (x < —1) C . x2 + — = 1 (x > 0)8 8 8y 2 …D . x 2 ———=1 (x > 1)106. 以知F是双曲线~4 —12 = 1的左焦点，A（L4）, p是双曲线右支上的动点，则p |^^|^的最小值为 「2 - 2^.1 ….、 一7. P为双曲线 15 右支上一点，M、N分别是圆3 + 4）2 + 22 = 4和3 — 4）2 +产=1上的点，^i」|pm|-|pn|的最大值为8. 若方程£ + M = 1所表示的曲线为C,给出下列四个命题： 4 — t t — 1①若C为椭圆，则14或t<1；③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上，其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）。

几何性质X 2 2 2 X2 V2 一11. 已知双曲线一—一=1（>0, b>0）和椭圆r + ——=】有相同的焦点，且双曲线的离心a2 b2 16 9率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.一， X2 2212. 已知F、?分别为双曲线C: — - ^y =1的左、右焦点，点AK，点M的坐标为（2，0），AM为逐/尸2/的平分线.则AF2I =14.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F，F，若曲线I上存在点P满足PF |：FF |： PF =4： 12 1 1 12 23:2，则曲线I的离心率等于A. 1 或- B.-或2 C. 1 或2 D.-或-2 2 3 2 3 2_ X2 2 2 一 - 2 217.已知椭圆C1： a_ + 2_ = 1 （a>b>0）与双曲线C2: X2一亍=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与C1C2的长度为直径的圆相交于A,B两点.若q恰好将线段AB三等分，则(A)13 a2 = a(B) a2=13(C) b2=-2(D) b2=2兀18.已知双曲线挡—22 = 1（a >侦2）的两条渐近线的夹角为一，则双曲线的离心率为（ a 2 2 3A.巨 B.迩 C. * D. 23 32 2 一=1的离心率e的取值范围是（ ）一 X 219.设a >】，则双曲线泰-（a +1）2A. Q2,2）b.C5）c,（罚）D.（2*5）X2 y2 一20•设七和槌双曲线京b? 1(a0,b0)的两个焦点，若F《F，P (0,2))是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为3A，2B. 25C，2D. 3.X2 y223.设双曲线如商典0'b0)的左、右焦点分别是F1、，过点F的直线交双曲2线右支于不同的两点M、N .若^UNF ]为正三角形，则该双曲线的离心率为( )B. 73 C.龙 D. *3X2 y224,已知椭圆京b? 1（a b0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B在椭圆上，且BFB.C，3x轴，直线AB交y轴于点P .若AP 2PB，则椭圆的离心率是(1D，2X2 y225. 已知双曲线艾 b? 1(b °)的左、右焦点分别是F『F2,其一条渐近线方程为y X，点P Q3, y0)在双曲线上则PF] pf2=()A. -12 B. -2 C. 0 D. 4X2 y226, 设°为坐标原点，F1，F2是双曲线及萨 顿>0">0)的焦点,若在双曲线上存在点P，满足/ F P F =60°，|OP|= (7a，则该双曲线的渐近线方程为12(A)x± \'3y=0 (B) \：3x±y=0 (C)x± r'2y =0 (D) %'2x± y=0x2 y27. 已知双曲线a~ 甘 1 (a>0, b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60。

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. （1， 2）B.（-1，2）C. （2，+8）D. [2,）b , 一〜28. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为》=± x,(a > 0,b > 0),若双曲线上有a一点M (x , y )，使a I y l> b I x I，那么双曲线的交点( )0 0 0 0A.在x轴上 B.在y轴上 C.当a > b时在x轴上 D.当a< b时在y轴上29. 若方程x2 + (1 + a)x +1 + a + b = 0的两根分别为椭圆，双曲线的离心率，则一的取值a范围是 焦点三角形及直线与双曲线31. 无论m为任何实数，直线l: y = x + m与双曲线C: £ -二二1(b > 0)恒有公共点，则2 b 2双曲线C的离心率为 32. 直线l: y = k(x-寸2)与双曲线x2 - y2 =1(x > 0)交于不同两点，则直线l的倾斜角的范围是 33. 设圆C的圆心在双曲线挡-兰= 1(a > 0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆Ca 2 2被直线l: x f3y = 0截得的弦长等于2，则a的值为()A.、2 B.右 C. 2 D. 334. 若椭圆m +于=1与双曲线x - q = l(m,n, p, q均为正数)有共同的焦点<，F，P是两曲线的一个公共点，则I PF I -1 PF I等于x 235. 设F, F是双曲线丁- y2= 1的两个焦点，P在双曲线上，当APFF的面积为1时，1 2 4 1 2PF • PF2的值等于x 2 y 236T设F「F2分别为双曲线丘-有="a>0，b>°)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足\PF | = \FF |，且F到直线PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐 2 12 2 1近线方程为()A. 3 x ± 4 y = 0 b.3 x ± 5 y = 0 C.4 x ± 3 y = 0 d.5 x ± 4 y = 037.点 P 是双曲线 C" m -y- = 1(a > 0,b > 0)与圆 C2: x2 + y2 = a2 + b2 的一个交点，且2ZPFF =ZPF F1 2 2 1其中F,^是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 38 .设%「是双曲线 壬-y = 1(。

> °，b > 0)的两个焦点，P在双曲线的右支上，且"Fl = 4|PF |,则双曲线离心率的最大值为x 2 y 239. P为双曲线云-b2 =1(a,b>0)右支上一点，F「F2分。