单摆运动的分析.docx

单摆的运动规律分析摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑 空气阻力在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程正文：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑空气 阻力在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平 面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单 摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑空气阻力I.由刚体绕定轴转动的微分方程可知：ml 2 - -mgl sin 9 … …⑴dt2当©很小时:d 2° + g 9-0……⑵dt 2 l令 w 2 - |做任意角度摆动时的情况：则原式化为孚+ W29 - 0……⑶dt2+ w 2 sin 9 - 0 ⑷dt2II •受大小与速度成正比的阻力作用时:d 29dt 2一 k + w2 sin 9 - 0 dt做小角度摆动时可近似为：d 29dt 2dt+ w 29 - 0其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，（1）、⑷、⑸式为非线性微分方程。

1) 小角度震荡时将sine近似看作ei. 函数文件：function fc=f0(t,y) global g lfc=[y(2) -g/l*y(1)]'ii. 绘图程序：clearclcglobal g lg=9.8;l=1;w0=input('wm0?\n') [t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'r')title(' 0 -t 图')； xlabel('时间/s'); ylabel(' 0 /rad');gridiii. 图像：取 wm0=0.5.e-t图2) 振幅增大后，0 将不满足近似条件i. 函数文件：function fc=f1(t,y) global g l fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))]'ii. 绘图程序：clearclc global g l kg=9.8;l=1;w0=input('wm0?\n')[t,y]=ode45('f1',[0,50],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'b')title(' 0 -t 图')；xlabel('时间/s');ylabel(' 0 /rad');gridiii. 图像：仍取 wm0=0.5.e-t图和近似的结果相比：e-t图周期已经有了变化•而当wmO的值增大（如1.5）时,变化就更明显了.e-t图!i0 5 10 15 20 25 30 35 40 45时间/s比例系数为k,3）进一步考虑空气阻力•设物体所受空气阻力大小与其相对空气的速率成正比, 方向与物体相对空气的速度方向相反.i. 函数文件:function fc=f2(t,y) global g l kfc=[y(2) -g/l*sin(y(1))-k*l*y(2)]'ii•绘图程序：clearclc global g l k g=9.8;l=1; k=input('k?\n'); w0=input('wm0?\n') [t,y]=ode45('f2',[0,50],[0,w0*pi]'); plot(t,y(：,1),'k')title(' 0 -t 图')； xlabel('时间/s'); ylabel(' 0 /rad');gridiii. 图像：仍取 wm0=0.5,k 取 0.4.e-t图。