22年各地高考数学压轴全解.pdf

高 考 数 学 压 轴 全 解-2 0 2 2-自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 1/VX-1298789431($)(22 年全国甲卷理科)已知 a=3132,b=cos14,c=4sin14,则()A.c b aB.b a cC.a b cD.a c bO 答案AO 解析进阶放缩易证?x R,cosx 1 12x2?x?0,2?,tanx x?因此 cos14 1 12?14?2=3132.同时 tan1414,即有 4sin14 cos14.从而4sin14 cos143132.即 c b a,选项 A 正确.?1自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 2/VX-1298789431($)(22 年全国甲卷理科)已知 ABC 中,点 D 在边 BC 上,ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.O 答案3 1.O 解析法一基本不等式根据题意设CD=2BD=2t.若以点 D 为坐标原点,DC 为 x 轴建立直角坐标系,则 C,B,A 三点的坐标分别为(2t,0),(t,0),(1,3).于是AC2AB2=(2t 1)2+(0 3)2(t 1)2+(0 3)2=4t2 4t+4t2+2t+4=4 12(t+1)+3t+1 4 23.上述不等式当且仅当 t=3 1 时取等.因此ACAB取最小值时,BD=3 1.法二余弦定理基本不等式根据题意设CD=2BD=2t.于是在 ACD 与 ABD 中,由余弦定理可得AC2AB2=(2t)2+22 2 2 2t cos60t2+22 2 2 t cos120=4t2 4t+4t2+2t+4=4 12(t+1)+3t+1 4 23.上述不等式当且仅当 t=3 1 时取等.因此ACAB取最小值时,BD=3 1.?2自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 3/VX-1298789431($)(22 年全国甲卷文科)已知 9m=10,a=10m 11,b=8m 9,则()A.a 0 bB.a b 0C.b a 0D.b 0 aO 答案AO 解析基本不等式由题可求得 m=log910.又对任意的 n 1,n N,都有lnn ln(n+2)?lnn+ln(n+2)2?2=14 lnn(n+2)2ln(n+2)ln(n+1)=logn+1(n+2).从而a=10m 11 10log1011 11=0=8log89 9 8m 9=b.因此选项 A 正确.?3自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 4/VX-1298789431($)(22 年全国甲卷文科)已知 ABC 中,点 D 在边 BC 上,ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.O 答案3 1.O 解析法一基本不等式根据题意设CD=2BD=2t.若以点 D 为坐标原点,DC 为 x 轴建立直角坐标系,则 C,B,A 三点的坐标分别为(2t,0),(t,0),(1,3).于是AC2AB2=(2t 1)2+(0 3)2(t 1)2+(0 3)2=4t2 4t+4t2+2t+4=4 12(t+1)+3t+1 4 23.上述不等式当且仅当 t=3 1 时取等.因此ACAB取最小值时,BD=3 1.法二余弦定理基本不等式根据题意设CD=2BD=2t.于是在 ACD 与 ABD 中,由余弦定理可得AC2AB2=(2t)2+22 2 2 2t cos60t2+22 2 2 t cos120=4t2 4t+4t2+2t+4=4 12(t+1)+3t+1 4 23.上述不等式当且仅当 t=3 1 时取等.因此ACAB取最小值时,BD=3 1.?4自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 5/VX-1298789431($)(22 年全国乙卷理科)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)+g(2 x)=5,g(x)f(x 4)=7.若 y=g(x)的图象关于直线 x=2 对称,g(2)=4,则22Xk=1f(k)=()A.21B.22C.23D.24O 答案DO 解析函数的对称性函数的周期性由于 x R,g(x)f(x 4)=7,因此g(2 x)f(2 x)=7.结合 x R,f(x)+g(2 x)=5 可得x R,f(x)+f(2 x)=2.x因为 y=g(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 x R,g(x)=g(4 x).结合 g(x)f(x 4)=7 可得7+f(x 4)=7+f(x)f(x 4)=f(x)f(x 2)=f(2 x)y联立 xy 可得f(x)+f(x 2)=2=f(x 2)=f(x 4)2.从而 x R,f(x)=f(x 4).记 M=22Xk=1f(k),则有M=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=5f(1)+f(3)+f(2)+f(4)+f(1)+f(2)=5 (2)+(2)+f(1)+f(2)=20+f(1)+2 f(0)=22+f(1)f(0).而 f(0)=5 g(2)=1,且有g(1)=g(2 1)=5 f(1),g(1)=f(1 4)+7=f(1)+7.解得 f(1)=1.于是M=22+f(1)f(0)=24.选项 D 正确.?5自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 6/VX-1298789431($)(22 年全国乙卷理科)已知 x=x1和 x=x2分别是函数 f(x)=2ax ex2(a 0,且 a=1)的极小值点和极大值点,若x1 0,x 0,f(x)2(ex ex)0.因此该种情形下,x R,f(x)0,f(x)为单调递增函数,不存在极值点,不符题设.情形二若 0 a 1e,则 lna 1.此时x 0,f(x)2lna ax 0,x 0,f(x)2(ax ex)2(ex ex)0.因此该种情形下,x R,f(x)0,f(x)为单调递减函数,不存在极值点,不符题设.情形三若 1 a e,则 0 lna 0,s=1,f(s)=2(alna e)1,f(t)=2?lna elnat et?2hlna (lna t)2 eti=0.因此该种情形下,f(x)有且仅有两个变号零点 x1,x2,分别在区间(r,s),(s,t)内.此时 f(x)的单调性为x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增?6自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌x1,x2分别为 f(x)的极大值点与极小值点,不符题设.情形四若1e a 1,则 1 lna 0.此时 g(x)单调递减,且存在唯一零点x0=logaeln2a.因此 g(x)即 f(x)在(,x0)单调递增,在(x0,+)单调递减.又r=0,f(r)=2lna 2?a1+e?0,t=eln3a 1,f(t)=2?lna elnat et?b 0),C 的上顶点为 A,两个焦点为 F1,F2,离心率为12,过 F1且垂直于 AF2的直线与 C 交于 D,E 两点,|DE|=6,则 ADE 的周长是.O 答案13.O 解析椭圆的焦半径公式 II如图,设 =OAF2,则 sin=OF2AF2=ca=12.因此 =6.从而可知xyOADEF1F2HAF1F2为正三角形.根据题意有 ED AF2,设垂足为 H,则直线 HF1垂直平分线段 AF2.于是易知RtEHARtEHF2,RtDHARtDHF2.从而 EA=EF2,DA=DF2,则 ADE 的周长为 DE+EF2+DF2=4a.由椭圆的焦半径公式 II 可得DE=DF1+EF1=ep1 ecos+ep1+ecos=2ep1 e2cos2其中 e 为椭圆的离心率,p 为椭圆的焦准距.若记 c 为椭圆的半焦距.则 e=12,p=b2c.结合 DE=6 得b2c=398a2 c2c=398.将上式与ca=12联立解得 a=134,因此 ADE 的周长为 4a=13.?13自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 12/VX-1298789431($)(22 年新高考 II 卷)若函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+y)+f(x y)=f(x)f(y),f(1)=1,则22Xk=1f(k)=()A.3B.2C.0D.1O 答案AO 解析数列的周期性令 x=1,y=0,则有f(1+0)+f(1 0)=f(1)f(0).解得 f(0)=2.令 x=t,y=1,则有t R,f(t+1)=f(t)f(t 1).若 t N,则可递推出 f(t)的值分别为1,1,2,1,1,2,1,1,注意到 f(t)(t N)的各项取值构成一个周期数列,且周期为 6.因此22Xk=1f(k)=3.选项 A 正确.?14自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 13/VX-1298789431($)(22 年新高考 II 卷)对任意 x,y,x2+y2 xy=1,则()A.x+y 1B.x+y 2C.x2+y2 2D.x2+y2 1O 答案BCO 解析基本不等式由题,对任意 x,y R,恒有(x+y)2=1+3xy 1+3?x+y2?2+1.解得(x+y)2 4,即2 x+y 2.当且仅当 x=y 时等号成立.因此 B 正确.又对任意 x,y R,恒有x2+y2=1+xy 1+12?x2+y2?.解得 x2+y2 2.因此 C 正确.当 x=y=1 时,x+y=2,因此 A 错误.当 x=y=33时,x2+y2=23,因此 D 错误.综上,正确选项为 BC.?15自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 14/VX-1298789431($)(22 年新高考 II 卷)已知椭圆x26+y23=1,直线 l 与椭圆在第一象限交于 A,B,与 x 轴,y 轴分别交于 M,N,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则直线 l 的方程为.O 答案x+2y 22=0.O 解析椭圆的垂径定理设 M(m,0),N(0,n),其中 m,n 0.xyOMNABP如图,记点 P 为线段 AB 的中点,则由|MA|=|NB|可知 P 也是线段 MN 的中点,因此点 P 的坐标为?m2,n2?.记椭圆的半长轴与半短轴分别为 a,b.记直线 OP,MN 的斜率分别为 k1,k2,则k1k2=b2a2nmnm=12 m2=2n2.x又由|MN|=23 可得m2+n2=12.y联立 xy 解得 m=22,n=2.因此所求直线 l 的方程为xm+yn=1,即 x+2y 22=0.?16自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 15/VX-1298789431($)(22 年浙江卷)已知数列 an 满足 a1=1,an+1=an13a2n(n N),则()A.2 100a10052B.52 100a100 3C.3 100a10072D.72 100a100 a2 an an+1 0.或用数学归纳法,亦可证得此结论.于是由 an+1=an13a2n可得1an+11an=13 an13.累加可得1an+11a1+n3,n N,即有 an+13n+3,n N.因此 100a100300102 3.又n N,1an+11an=13 an13 3n+2=13?1+1n+1?.累加可得1an+1 1+13?n+?12+13?+?14+17?+1n+1?.将 n=99 代入可得1a100 34+13?12+13?+?14+17?+?18+116?+?164+1100?34+13?2 12+4 14+32 132+37 164?10040=52.因此选项 B 正确.?17自强不息怀壮志以长行厚德载物携梦想而抚凌例题 16/VX-1298789431($)(22 年浙江卷)设点 P 在单位圆的内接正八边形 A1A2A8的边 A1A2上,则#PA12+#PA22+#PA82的取值范围是.O 答案12+22,16.O 解析设单位圆的圆心为 O,记待求表达式为 M,则M=8Xi=1(#PAi)2=8Xi=1(#OP#OAi)2=8 OP2+8 2#OP 8Xi=1。