高中数学2.3.12.3.2空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标课件北师大版必修2.ppt

12345678910111.1.已知点已知点M M的位置的位置, ,求其坐标的方法：求其坐标的方法：过过M M作作MMMM1 1垂直于平面垂直于平面xOyxOy，垂足为，垂足为M M1 1，求出，求出M M1 1的的x x坐标和坐标和y y坐坐标，再由射线标，再由射线M M1 1M M的指向和线段的指向和线段M M1 1M M的长度确定的长度确定z z坐标坐标. .点的坐标的确定点的坐标的确定 122.2.特殊位置的点的坐标形成特殊位置的点的坐标形成在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示的坐标形式如下表所示. .其中其中x,y,z∈R.x,y,z∈R.13【【例例1 1】】在长方体在长方体OABC-D′A′B′C′OABC-D′A′B′C′中，中，|OA|=3|OA|=3，，|OC|=4|OC|=4，，|OD′|=2|OD′|=2，，以以O O为原点以为原点以OAOA、、OCOC、、OD′OD′所在的直所在的直线分别为线分别为x,y,zx,y,z轴轴, ,建立空间直角坐建立空间直角坐标系如图所示，写出标系如图所示，写出D′D′、、C C、、A′A′、、B′B′四点的坐标四点的坐标. .【【审题指导审题指导】】空间直角坐标系已经给出空间直角坐标系已经给出, ,且长方体各边的长且长方体各边的长度均知道度均知道, ,解答本题的关键是找出各个点在解答本题的关键是找出各个点在xOy,yOz,xOzxOy,yOz,xOz坐坐标平面内的相应分量标平面内的相应分量, ,从而写出点的坐标从而写出点的坐标. .14【【规范解答规范解答】】因为因为D′D′在在z z轴上，且轴上，且|OD′|=2|OD′|=2，则它的，则它的z z坐标坐标为为2 2，它的，它的x,yx,y坐标都是坐标都是0 0，所以，所以D′D′点的坐标是点的坐标是(0,0,2)(0,0,2)，点，点C C在在y y轴上，且轴上，且|OC|=4,|OC|=4,所以点所以点C C的坐标为的坐标为(0,4,0)(0,4,0)，点，点A′A′的的坐标为坐标为(3,0,2)(3,0,2)，点，点B′B′的坐标为的坐标为(3,4,2).(3,4,2).15【【例例】】已知正四棱锥已知正四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面边长为的底面边长为4,4,侧棱长为侧棱长为10,10,试试建立适当的空间直角坐标系建立适当的空间直角坐标系, ,写出各顶点的坐标写出各顶点的坐标. .【【审题指导审题指导】】四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD是正四棱锥是正四棱锥, ,解答时可先由条件解答时可先由条件求出正四棱锥的高求出正四棱锥的高, ,再根据正四棱锥的对称性再根据正四棱锥的对称性, ,建立适当的建立适当的空间直角坐标系空间直角坐标系. .17【【规范解答规范解答】】∵∵正四棱锥正四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面边长为的底面边长为4,4,侧棱长为侧棱长为10,10,∴∴正四棱锥的高为正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点以正四棱锥的底面中心为原点, ,平行于平行于ABAB、、BCBC所在的直线分别为所在的直线分别为y y轴、轴、x x轴轴, ,建立如图所示的空间建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2A(2，，-2,0)-2,0)、、B(2,2B(2,2，，0)0)、、C(-2,2C(-2,2，，0)0)、、D(-2D(-2，，-2,0)-2,0)、、18已知点已知点M M的坐标的坐标(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )，确定它的位置的方法有：，确定它的位置的方法有：1.1.先在先在x x轴上取横坐标为轴上取横坐标为x x0 0的点的点M M1 1；再将；再将M M1 1在在xOyxOy平面内沿与平面内沿与y y轴平行的方向的负向轴平行的方向的负向(y(y0 0＜＜0)0)或正向或正向(y(y0 0＞＞0)0)平移平移|y|y0 0| |个单个单位，得到点位，得到点M M2 2；再将点；再将点M M2 2沿与沿与z z轴平行的方向的正向轴平行的方向的正向(z(z0 0＞＞0)0)或负向或负向(z(z0 0＜＜0)0)平移平移|z|z0 0| |个单位，就可得到点个单位，就可得到点M(xM(x0 0,y,y0 0,z,z0 0).).已知点的坐标确定点的位置已知点的坐标确定点的位置222.2.以原点以原点O O为一个顶点，构造棱长分别为为一个顶点，构造棱长分别为|x|x0 0|,|y|,|y0 0|,|z|,|z0 0| |的的长方体长方体( (三条棱的位置要与三条棱的位置要与x x0 0,y,y0 0,z,z0 0的符号一致的符号一致) )，则长方体，则长方体与与O O相对的顶点即为所求的点相对的顶点即为所求的点M.M.3.3.先在先在x x轴上找到点轴上找到点M M1 1(x(x0 0,0,0),0,0)，过，过M M1 1作作x x轴的垂直平面轴的垂直平面αα；；再在再在y y轴上找到点轴上找到点M M2 2(0(0，，y y0 0,0),,0),过过M M2 2作作y y轴的垂直平面轴的垂直平面β;β;在在z z轴上找到点轴上找到点M M3 3(0(0，，0 0，，z z0 0),),过过M M3 3作作z z轴的垂直平面轴的垂直平面γ,γ,三个平三个平面面αα、、ββ、、γγ交于一点，此交点即为所求点交于一点，此交点即为所求点M.M.23 在某一坐标平面内确定点的位置时，可以参考在某一坐标平面内确定点的位置时，可以参考平面直角坐标系中的有关方法平面直角坐标系中的有关方法. .24【【例例2 2】】在空间直角坐标系中，作出点在空间直角坐标系中，作出点M(4M(4，，-2-2，，5).5).【【审题指导审题指导】】解答本题可有三种思路：解答本题可有三种思路：①①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点点M M；；②②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4 4，，2 2，，5 5，通，通过和原点相对的顶点确定过和原点相对的顶点确定M M的位置；的位置；③③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点定点M.M.25【【规范解答规范解答】】方法一：将原点方法一：将原点沿沿x x轴正方向平移轴正方向平移4 4个单位得点个单位得点M M1 1(4(4，，0 0，，0)0)，再把，再把M M1 1沿与沿与y y轴轴平行的直线且与平行的直线且与y y轴相反方向轴相反方向平移平移2 2个单位，得到点个单位，得到点M M2 2(4(4，，-2-2，，0)0)，最后把，最后把M M2 2沿与沿与z z轴平行轴平行的直线且与的直线且与z z轴相同方向平移轴相同方向平移5 5个单位即得点个单位即得点M.M.26方法二：以方法二：以O O为顶点构造长方体，使为顶点构造长方体，使这个长方体在点这个长方体在点O O处的三条棱分别在处的三条棱分别在x x轴正半轴、轴正半轴、y y轴负半轴、轴负半轴、z z轴正半轴轴正半轴上，且棱长分别为上，且棱长分别为4 4，，2 2，，5.5.则长方则长方体中顶点体中顶点O O相对的顶点即为所求的点相对的顶点即为所求的点M.M.27方法三：在方法三：在x x轴上找到轴上找到x x坐标为坐标为4 4的点，过此点作与的点，过此点作与x x轴垂直轴垂直的平面的平面αα；在；在y y轴上找到轴上找到y y坐标为坐标为-2-2的点，过此点作与的点，过此点作与y y轴垂轴垂直的平面直的平面β;β;在在z z轴上找到轴上找到z z坐标为坐标为5 5的点，过此点作与的点，过此点作与z z轴垂轴垂直的平面直的平面γ,γ,则则αα、、ββ、、γγ交于一点，此交点即为所求的点交于一点，此交点即为所求的点M.M.28 空间直角坐标系中，有关点的坐标对称问空间直角坐标系中，有关点的坐标对称问题题P(x,y,z)P(x,y,z)关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy对称的点对称的点P P1 1(x,y,-z)(x,y,-z)；；P(x,y,z)P(x,y,z)关于坐标平面关于坐标平面yOzyOz对称的点对称的点P P2 2(-x,y,z)(-x,y,z)；；P(x,y,z)P(x,y,z)关于坐标平面关于坐标平面xOzxOz对称的点对称的点P P3 3(x,-y,z)(x,-y,z)；；P(x,y,z)P(x,y,z)关于关于x x轴对称的点轴对称的点P P4 4(x,-y,-z)(x,-y,-z)；；P(x,y,z)P(x,y,z)关于关于y y轴对称的点轴对称的点P P5 5(-x,y,-z)(-x,y,-z)；；P(x,y,z)P(x,y,z)关于关于z z轴对称的点轴对称的点P P6 6(-x,-y,z).(-x,-y,z).点的对称问题点的对称问题30【【例例3 3】】如图所示如图所示, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a.a.(1)(1)求求B B1 1关于平面关于平面xOyxOy对称的点的坐标对称的点的坐标; ;(2)(2)求求B B1 1关于关于z z轴对称的点的坐标轴对称的点的坐标; ;(3)(3)求求B B1 1关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标. .【【审题指导审题指导】】坐标系已经给出坐标系已经给出, ,解答本题只需先求出点解答本题只需先求出点B B1 1的的坐标坐标, ,在此基础上借助点关于点、线、平面的对称原则求解在此基础上借助点关于点、线、平面的对称原则求解便可便可. .31【【规范解答规范解答】】∵∵正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,∴∴易求得点易求得点B B1 1的坐标为的坐标为(a,a,a).(a,a,a).(1)B(1)B1 1关于平面关于平面xOyxOy对称的点的坐标为对称的点的坐标为(a,a,-a);(a,a,-a);(2)B(2)B1 1关于关于z z轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为(-a,-a,a);(-a,-a,a);(3)B(3)B1 1关于原点对称的点的坐标为关于原点对称的点的坐标为(-a,-a,-a).(-a,-a,-a).3235【【典例典例】】(12(12分分) )四面体四面体P-ABCP-ABC是一个是一个正方体截下的一角正方体截下的一角, ,且满足且满足|PA|=a,|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c,|PB|=b,|PC|=c,建立如图所示的空建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系, ,求求△△ABCABC的重心的重心G G的坐的坐标标. .【【审题指导审题指导】】几何体的形状已知几何体的形状已知, ,且坐标系已给出且坐标系已给出. .求解本求解本题的关键是依据题设条件正确写出题的关键是依据题设条件正确写出△△ABCABC的顶点坐标的顶点坐标, ,进而进而借助重心坐标公式求出点借助重心坐标公式求出点G G的坐标的坐标. .36【【规范解答规范解答】】 由图可知由图可知P P点为坐标原点点为坐标原点, ,点点A,B,CA,B,C分别在分别在x,y,zx,y,z轴上轴上, ,且且|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c,|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c,∴A(a,0,0)∴A(a,0,0)，，B(0,b,0)B(0,b,0)，，C(0,0,c). C(0,0,c). …………………………………………5 5分分设设△△ABCABC的重心的重心G G的坐标为的坐标为(x,y,z)(x,y,z)，，则则 ……………………………………………………………………1010分分即重心即重心G G的坐标为的坐标为 …………………………………………………… 12 12分分37【【误区警示误区警示】】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：38411.1.点点Q(0,0,3)Q(0,0,3)的位置是的位置是( )( )(A)(A)在在x x轴上轴上 (B)(B)在在y y轴上轴上(C)(C)在在z z轴上轴上 (D)(D)在面在面xOyxOy上上【【解析解析】】选选C.zC.z轴上的坐标满足轴上的坐标满足x=y=0.x=y=0.422.2.点点(2,-1,3)(2,-1,3)与点与点(2,-1,-3)( )(2,-1,-3)( )(A)(A)关于关于x x轴对称轴对称 (B)(B)关于关于y y轴对称轴对称(C)(C)关于关于xOyxOy平面对称平面对称 (D)(D)关于关于z z轴对称轴对称【【解析解析】】选选C.C.点点(2,-1,3)(2,-1,3)与点与点(2,-1,-3)(2,-1,-3)的的x x坐标坐标,y,y坐标相坐标相同同,z,z坐标互为相反数坐标互为相反数, ,故这两点关于故这两点关于xOyxOy平面对称平面对称. .433.3.点点P(1P(1，，2 2，，-1)-1)在在xOzxOz平面内的垂足为平面内的垂足为B(x,y,z)B(x,y,z)，则，则x+y+z=( )x+y+z=( )(A)3 (B)2(A)3 (B)2(C)1 (D)0(C)1 (D)0【【解析解析】】选选D.D.点点P(1P(1，，2 2，，-1)-1)在在xOzxOz平面的垂足为平面的垂足为B(1B(1，，0 0，， -1)-1)，，∴∴x+y+z=1+0-1=0.x+y+z=1+0-1=0.444.4.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点A A的坐标为的坐标为(0(0，，0 0，，0)0)，，C C1 1的的坐标为坐标为(1(1，，1 1，，1)1)，则线段，则线段ACAC1 1的中点坐标为的中点坐标为__________.__________.【【解析解析】】结合中点坐标公式易得线段结合中点坐标公式易得线段ACAC1 1的中点坐标为的中点坐标为答案：答案： 455.5.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,作出点作出点M(6M(6，，-2-2，，4).4).【【解析解析】】点点M M的位置可按如下步骤作出：的位置可按如下步骤作出：先在先在x x轴上作出横坐标是轴上作出横坐标是6 6的点的点M M1 1，再将，再将M M1 1沿与沿与y y轴平行的方向向左移动轴平行的方向向左移动2 2个单位个单位得到点得到点M M2 2，然后将，然后将M M2 2沿与沿与z z轴平行的方轴平行的方向向上移动向向上移动4 4个单位即得点个单位即得点M,MM,M点的位置如图所示点的位置如图所示. .4647一、选择题一、选择题( (每题每题4 4分，共分，共1616分分) )1.(2011·1.(2011·杭州高二检测杭州高二检测) )在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyzO-xyz中，点中，点P P(-2,0,3)(-2,0,3)位于位于( )( )(A)xOz(A)xOz平面内平面内 (B)yOz(B)yOz平面内平面内(C)y(C)y轴上轴上 (D)z(D)z轴上轴上【【解析解析】】选选A.∵A.∵点点P(-2,0,3)P(-2,0,3)的的y y坐标为零，坐标为零，∴∴点点P(-2,0,3)P(-2,0,3)在在xOzxOz平面内平面内. .482.2.已知点已知点A(-3A(-3，，1 1，，4)4)，则点，则点A A关于原点的对称点的坐标为关于原点的对称点的坐标为( )( )(A)(1(A)(1，，-3-3，，-4) (B)(-4-4) (B)(-4，，1 1，，-3)-3)(C)(3(C)(3，，-1-1，，-4) (D)(4-4) (D)(4，，-1-1，，3)3)【【解析解析】】选选C.C.点点A A关于原点的对称点的坐标为关于原点的对称点的坐标为(3(3，，-1-1，，-4).-4).493.3.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,已知点已知点P(1,2,3),P(1,2,3),过过P P作平面作平面xOyxOy的的垂线垂线PQ,PQ,则垂足则垂足Q Q的坐标为的坐标为( )( )(A)(0(A)(0，，2 2，，0) (B)(1,2,0)0) (B)(1,2,0)(C)(1(C)(1，，0 0，，3) (D)(03) (D)(0，，2 2，，3)3) 【【解题提示解题提示】】垂足垂足Q Q的坐标，即为点的坐标，即为点P(1,2,3)P(1,2,3)在平面在平面xOyxOy内的射影内的射影. .【【解析解析】】选选B.B.因为过因为过P P作平面作平面xOyxOy的垂线的垂线PQ,PQ,则垂足则垂足Q Q在在xOyxOy平平面内，故满足面内，故满足z=0z=0，，x,yx,y不变不变. .故选故选B.B.504.(2011·4.(2011·泰安高二检测泰安高二检测) )以正方体以正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ABAB、、ADAD、、AAAA1 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱棱长为一个单位长度，则棱CCCC1 1中点坐标为中点坐标为( )( )(A)( (A)( ，，1 1，，1) (B)(11) (B)(1，， ，，1)1)(C)(1(C)(1，，1 1，， ) (D)( ) (D)( ，， ，，1)1)【【解析解析】】选选C.C.由题可知点由题可知点C(1C(1，，1 1，，0)0)，，C C1 1(1(1，，1 1，，1)1)，，∴∴棱棱CCCC1 1中点坐标为中点坐标为(1(1，，1 1，， ).).51二、填空题二、填空题( (每题每题4 4分，共分，共8 8分分) )5.(2011·5.(2011·广州高二检测广州高二检测) )写出点写出点P(2P(2，，3 3，，4)4)在三条坐标轴在三条坐标轴上的射影的坐标上的射影的坐标_________,________,_________._________,________,_________.【【解析解析】】点点P(2P(2，，3 3，，4)4)在在x,y,zx,y,z轴上的射影的坐标分别为轴上的射影的坐标分别为(2,0,0)(2,0,0)，，(0,3,0)(0,3,0)，，(0,0,4).(0,0,4).答案：答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)526.(2011·6.(2011·长沙高一检测长沙高一检测) )如图所示的如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为空间直角坐标系中，正方体棱长为2 2，，|PQ|=3|PR||PQ|=3|PR|，则点，则点R R的空间直角坐标的空间直角坐标为为__________.__________. 【【解题提示解题提示】】充分借助平面几何的性质及条件充分借助平面几何的性质及条件|PQ|=|PQ|=3|PR|3|PR|求点求点R R的坐标的坐标. .53【【解析解析】】过点过点R R作作RT⊥QTRT⊥QT，如图所示，，如图所示，由由|PQ|=3|PR||PQ|=3|PR|及相似三角形的知识及相似三角形的知识可知可知 同理可求同理可求∴∴点点R R的空间直角坐标为的空间直角坐标为答案：答案： 54 【【方法技巧方法技巧】】巧用平面几何的性质求空间点的坐标巧用平面几何的性质求空间点的坐标立体几何是平面几何的拓展延伸立体几何是平面几何的拓展延伸, ,求解立体几何中的问题常求解立体几何中的问题常常利用常利用““降维降维””的思想的思想, ,把立体几何问题平面化把立体几何问题平面化. .如本题中如本题中巧用平行线的性质建立点巧用平行线的性质建立点T T与点与点R R坐标间的联系从而顺利写坐标间的联系从而顺利写出所要求解的点的坐标出所要求解的点的坐标. .55三、解答题三、解答题( (每题每题8 8分，共分，共1616分分) )7.7.已知已知ABCDABCD为平行四边形，且为平行四边形，且A(4A(4，，1 1，，3)3)，，B(2B(2，，-5-5，，1)1)，，C C(3(3，，7 7，，-5)-5)，求点，求点D D的坐标的坐标. . 【【解题提示解题提示】】利用平行四边形的对称性求点利用平行四边形的对称性求点D D的坐的坐标标. .56【【解析解析】】∵ABCD∵ABCD为平行四边形，且为平行四边形，且A(4A(4，，1 1，，3)3)，，C(3C(3，，7 7，，-5)-5)，，∴∴线段线段ACAC的中点坐标为的中点坐标为设点设点D D的坐标为的坐标为(x,y,z)(x,y,z)，则对角线，则对角线BDBD的中点坐标也为的中点坐标也为 解得解得∴∴点点D D的坐标为的坐标为(5,13,-3).(5,13,-3).578.8.如图，已知长方体如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′ABCD-A′B′C′D′的边长为的边长为AB=12,AD=8,AA′=5AB=12,AD=8,AA′=5．以这个长方体．以这个长方体的顶点的顶点A A为坐标原点为坐标原点, ,射线射线AB,AD,AA′AB,AD,AA′分别为分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正半轴，建轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．顶点的坐标．58【【解析解析】】因为因为AB=12AB=12，，AD=8,AA′=5,AD=8,AA′=5,点点A A在坐标原点，即在坐标原点，即A(0,0,0)A(0,0,0)，且，且B,D,A′B,D,A′分别在分别在x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上，所以它们轴上，所以它们的坐标分别为的坐标分别为B(12,0,0),D(0,8,0),A′(0,0,5)B(12,0,0),D(0,8,0),A′(0,0,5)．．点点C,B′,D′C,B′,D′分别在分别在xOyxOy平面、平面、xOzxOz平面和平面和yOzyOz平面内，坐标平面内，坐标分别为分别为C(12,8,0)C(12,8,0)，，B′(12,0,5),D′(0,8,5)B′(12,0,5),D′(0,8,5)．．点点C′C′在三条坐标轴上的射影分别是点在三条坐标轴上的射影分别是点B,D,A′B,D,A′，故点，故点C′C′的的坐标为坐标为(12,8,5)(12,8,5)．．59【【挑战能力挑战能力】】(10(10分分)(1))(1)在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyzO-xyz中，画出不共线的中，画出不共线的3 3个点个点A,B,CA,B,C，使得这，使得这3 3个点的坐标都满足个点的坐标都满足z=3z=3，并画出图形；，并画出图形；(2)(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．．60【【解析解析】】(1)(1)取三个点取三个点A(0,0,3),C(4,0,3),B(0,4,3),A(0,0,3),C(4,0,3),B(0,4,3),其图其图形如图所示：形如图所示：(2)A(2)A，，B B，，C C三点不共线，可以确定一三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在个平面，又因为这三点在xOyxOy平面的同平面的同侧，且到侧，且到xOyxOy平面的距离相等，所以平平面的距离相等，所以平面面ABCABC平行于平行于xOyxOy平面，而且平面平面，而且平面ABCABC内的每一个点在内的每一个点在z z轴上轴上的射影到原点的距离都等于的射影到原点的距离都等于3 3，即该平面上的点的坐标都满，即该平面上的点的坐标都满足足z=3z=3．．61。