初中直角三角形知识点总结.docx

为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划初中直角三角形知识点总结　　三角形全面认识专题　　一、【必掌握的基础知识】　　㈠概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.㈡三角形的分类：　　?直角三角形Rt??按角分:三角形??锐角三角形　　?斜三角形?钝角三角形??　　?不等边三角形?按边分:三角形?三角形?底边和腰不相等的等腰等腰三角形???等边三角形?　　㈢三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.▲快速判定方法总结：　　1)不等边三角形：最小两个边之和大于第三个边，就能组成三角形.　　2)等腰三角形：两腰之和大于底，就能组成三角形.　　3)等边三角形：肯定能组成.　　4）对应周长取值范围：　　若两边分别为a、b，则周长的取值范围是2a?L?2(a?b).㈣.三角形三个内角之间的关系：　　①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.　　②三角形外角性质：三角形外角和是360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.　　③大边对大角，小边对小角.　　④三角形的内角中：最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角；任意一个三角形中的最大角一定不小于60°，最小角一定不大于60°.　　▲直角三角形：　　①两锐角互余；②30度所对的直角边是斜边的一半；③三条高交于三角形的一个顶点；④∠A=1/2∠B=1/3∠C；　　⑤∠A:∠B:∠C=1:2:3；⑥∠A=∠B＋∠C；　　⑦∠A:∠B:∠C=1:1:2；⑧∠A=90-∠B；　　㈤三线：　　▲三角形的角平分线、高线、中线都有三条，都是线段；其中角平分线、中线都交于一点且交点在三角形内部，高所在直线交于一点.　　1)高线-----垂心　　如：如图，在直角△ABC中，?ACB=90，CD是斜边AB上的高，则有0　　AC?BC?CD?AB　　2)中线------重心　　☆三角形的中线：①平分底边；②分得两三角形面积相等并等于原三角形面积的一半；　　③分得两三角形的周长差等于邻边差；　　：高相等，底之间具有一定关系　　是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，SABC?4cm2　　，则SABE=_____________A　　BEC　　DDF2.如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△A　　的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC?6，则S1?S2的值为____________.　　3)角平分线------内心:　　①两边作垂线②三线合一③构造等腰④截长补短　　1.如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC．：　　BE图1C　　㈥三角形三大模型：　　①燕尾模型②八字模型　　③角平分线模型　　1)内角平分线(双内)　　2）内外角分线组合(双外)　　3）外角平分线(内外)　　㈦全等三角形　　①全等三角形的判定　　1.边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等　　注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角.　　2.角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等　　3.推论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等　　4.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等　　由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性.　　(除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等.)　　5.直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等　　②证全等方法：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连；线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角形；三角形中两中点，连接则成中位线　　三角形中有中线，延长中线等中线　　▲相关命题：　　①三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角；　　②锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60≤X<90，最大锐角不小于60度；　　③任意一个三角形两角平分线的夹角=90＋第三角的一半；　　④钝角三角形有两条高在外部；　　⑤全等图形的大小、形状都相同；　　⑥面积相等的两个三角形不一定是全等图形；　　⑦能够完全重合的两个图形是全等图形；　　⑧三角形具有稳定性；　　⑨三条边分别对应相等的两个三角形全等；　　⑩三个角对应相等的两个三角形不一定全等；　　○11两个等边三角形不一定全等；　　1○2两角及一边对应相等的两个三角形全等；　　1○3两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等；　　1○4两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等；　　1○5两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；　　1○6一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等；　　1○7一个锐角和一边对应相等的两个三角形全等；　　1○8一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；　　1○9有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.　　直角三角形　　直角三角形；直角三角形的性质　　1、直角三角形两锐角互余．　　即：?C?90???A??B?90?．　　2、直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半．即：　　?A?30??1　　?BC?AB．?　　?C?90??2　　3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　　?ACB?90??1　　?CD?AB?BD?AD．即：?　　2D为AB中点?　　4、勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方．　　即：a?b?c．　　注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求　　线段的长．　　直角三角形的判定　　1、有一个角是直角的三角形是直角三角形．　　2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．3、勾股定理逆定理：　　如果三角形三边长a,b,c有下面关系：a?b?c，那么这个三角形是直角三角形．注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想．解直角三角形的工具：　　在Rt?ABC中，?C?90，?A，?B，?C所对边分别为a,b,c．1、三边之间的关系：a?b?c(勾股定理)．　　2、锐角之间的关系：?A+?B=90．解直角三角形的应用仰角、俯角：　　如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．　　?　　222　　222　　?　　222　　图1图2　　方向角：　　如图2，平面上，过观测点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．　　例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西45”(或“西偏北45”)．　　?　　?　　?　　一、选择题　　1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是()．．．A．．3C．4D．5　　AD　　B　　C　　E　　2．如图，?ABC和?DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为　　C　　）D　　）3．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为　　A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形　　4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为　　4cm5cm6cm10cm　　A　　E第4题　　D　　B　　5．下图中，每个小正方形的边长为1，?ABC的三边a,b,c的大小关系式：　　a?c?ba?b?c　　c?a?bc?　　b?a　　6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是，2，3，3，，4，5，5，6二、填空题　　1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝．　　EDC　　BF　　G　　第2题图　　2．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，　　再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．　　3．已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=，AB=，则边BC的长为．　　4．如图，Rt△ABC中，∠C=90,∠ABC=30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点，且DA=DE，则AD的取值范围是　　5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠　　EBC=______.　　6．如图，DE过点C，且DE//AB，若?ACD?50，则∠，∠　　.Rt?ABC中,?ACB?90，　　?　　?　　7．两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝30，AC＝10，则此时两直角顶点C、C?间的距离是。

　　?　　?　　8．将一副三角板摆放成如图所示，图中?1?度．　　9．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可　　__________条.　　(第9题)　　10．在Rt?ABC中,?ACB?90?,D是AB的中点，CD=4cm，则　　11．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，　　则线段BD的长为三.计算题　　1.如下图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？　　2.如下图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30?，荷塘另一端D处与C、B在同一条　　直线上，已知AC?32米，CD?16米，求荷塘宽BD为多少米？(　　?，结果保留整数)　　三角形知识点总结　　一、三角形中的线段　　1.三角形的角平分线　　三角形的角平分线是顶点与内角平分线和对边交线间的距离　　三条角平分线交于一点　　2、三角形的中线　　三角形的中线是顶点到对边中点间的距离　　三条中线线交于一点　　3.三角形的高线　　三角形的高线也是顶点到对边的距离　　4.三角形的垂直平分线　　三角形的三条垂直平分线交于一点注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内.　　二、三角形三条边的关系　　三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形.　　等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角.　　三、三角形的内角和　　定理三角形三个内角的和等于180°　　由定理可知，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角.　　推论直角三角形的两个锐角互余.　　三角形的外角：。