概率论与数理统计第二章.ppt

湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量的定义第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量第四节 随机变量函数的分布湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量的定义 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？的函数一样吗？（（1）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为称这种定义在样本空间上的实值函数为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.(random variable)  而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母ζ,η等表示等表示 例如，从某一学校随机选一例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高学生，测量他的身高. 我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X>1.7)=？？ P(X≤1.5)=?P(1.50 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作X~P( ).(III) 泊松分布易见易见例例9 9 某一无线寻呼台某一无线寻呼台, ,每分钟收到寻呼的次每分钟收到寻呼的次数数X X服从参数服从参数 =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻的概率次寻的概率. . (2) (2)一分钟内收到一分钟内收到2 2至至5 5次寻呼的概率次寻呼的概率.解解: (1)(1)P{X=3}=p(3;3)=(3P{X=3}=p(3;3)=(33 3/3!)e/3!)e-3-3≈0.2240≈0.2240 (2) P{2≤X≤5} (2) P{2≤X≤5} =P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =[(3 =[(32 2/2!)+(3/2!)+(33 3/3!)+(3/3!)+(34 4/4!)+(3/4!)+(35 5/5!)]e/5!)]e-3-3 ≈0.7169 ≈0.7169解解:例例 1010 某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X X服从参数服从参数为为0.80.8的泊松分布的泊松分布. . 求求: :该城市一天内发生该城市一天内发生3 3次以上火灾的概率次以上火灾的概率. . P{X≥3}P{X≥3}= =1- P{X1- P{X<3}<3}= =1-[P{X1-[P{X=0}+=0}+ P{X P{X=1}+=1}+P{XP{X=2}]=2}]=1-[(0.8=1-[(0.8 0 0/0!)+(0.8/0!)+(0.81 1/1!)+(0.8/1!)+(0.82 2/2!)]e/2!)]e-0.8-0.8≈0.0474≈0.0474请看演示请看演示 泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点：X~P( )泊松分布泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于似，于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的 .二、二项分布与泊松分布二、二项分布与泊松分布l命题命题 对于二项分布对于二项分布B(n,p),B(n,p),当当n n充充分大分大, ,p p又很小时又很小时, ,则对任意固定的非负则对任意固定的非负整数整数k,k,有近似公式有近似公式 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等解解:例例11 某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400400辆辆, ,设设每天每辆出租车出现故障的概率为每天每辆出租车出现故障的概率为0.02,0.02, 求求: :一天内没有出租车出现故障的概率一天内没有出租车出现故障的概率. 将观察一辆车一天内是否出现故障看成将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验一次试验E.E.因为每辆车是否出现故障与其它因为每辆车是否出现故障与其它车无关车无关, ,于是观察于是观察400400辆出租车是否出现故障辆出租车是否出现故障就是做就是做400400次伯努利试验次伯努利试验, ,设设X X表示一天内出现表示一天内出现故障的出租车数故障的出租车数, ,则则: : X X ∼ ∼ B(400, 0.02).B(400, 0.02). 令令 = =npnp=400=400× ×0.02=8 0.02=8 于是于是: :P{P{一天内没有出租车出现故障一天内没有出租车出现故障}=}=P{X=0}P{X=0}=b(0;400,0.02) =b(0;400,0.02) ≈(8≈(80 0/0!)e/0!)e-8 -8 =0.0003355=0.0003355 对于离散型随机变量，如果知道了它的对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律. 在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 这一讲，我们介绍了离散型随机变量及这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布其概率分布.离散型随机变量由它的概率分布唯一确定离散型随机变量由它的概率分布唯一确定. 两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、泊松分布 及其关系及其关系湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第二章 第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不不能象离散型随机变量那样能象离散型随机变量那样, 以指定它取以指定它取每个值概率的方式每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法. 第二章 第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量请看演示请看演示:怎样画怎样画直方图直方图直方图与概率密度直方图与概率密度（（I））直方图直方图( (一一) ) 概率密度函数概率密度函数,使得对任意使得对任意 , 有有 对于随机变量对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x) , x 则称则称 X为连续型为连续型r.v.,称称 f(x)为为 X 的概率密度函的概率密度函数，简称为概率密度或密度数，简称为概率密度或密度.(II) 连续型连续型r.v.及其概率密度函数的定义及其概率密度函数的定义(III) 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1 o2 o这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)3. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.4. 连续型连续型r.v取取任一任一指定值的概率为指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为由此得由此得，，1) 对连续型对连续型 r.v X,有有2) 由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 {X=a} 并非不可能事件并非不可能事件,可见，可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出 并非必然事件并非必然事件由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=（二）、（二）、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X(X( ) )是一个随机变量是一个随机变量. .称函数称函数 F(x):= P{X≤x},-∞F(x):= P{X≤x},-∞a}>a} = ={X≤b}-{X≤a},{X≤b}-{X≤a},而而{X≤a}{X≤a} {X≤b}. {X≤b}. ∴ ∴ P{aP{a< 1，， F (x) = 1即即( (三三) )常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量正态分布、均匀分布、指数分布正态分布、均匀分布、指数分布 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由 高斯高斯( (Gauss)Gauss)加以推广，所以通常加以推广，所以通常称为高斯分布称为高斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛（德莫佛（De De MoivreMoivre) )最早最早发现了二项分布的一个近似公发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是式，这一公式被认为是正态分正态分布的首次露面布的首次露面.一、正态分布一、正态分布你们是否见过街头的一种赌博游戏你们是否见过街头的一种赌博游戏? ? 用一个钉板作赌具。

用一个钉板作赌具 下面我们在计算机上模拟这个游戏：下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博街头赌博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线的密度曲线 (I)、、正态分布的定义正态分布的定义 若若r.v. X 的的概率密度为概率密度为记作记作 f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， >0，，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. (Normal)(II)、、正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是““两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称””. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点故故f(x)以以μ为对称轴，并在为对称轴，并在x=μ处达到最大处达到最大值值: :令令x=μ+ +c, x=μ- -c (c>0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得f (μ+ +c)=f (μ- -c)且且 f (μ+ +c) ≤f (μ), f (μ- -c)≤f (μ)这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。

即轴即f (x)以以x轴为渐近线轴为渐近线 当当x→  ∞∞时，时，f(x) → 0, ,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f (x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标x = μ   σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下再复习一下实实例例 年年降降雨雨量量问问题题，，我我们们用用上上海海99年年年降雨量的数据画出了频率直方图年降雨量的数据画出了频率直方图从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布雨量近似服从正态分布下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图数据画出的频率直方图红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生的身高应可见，某大学大学生的身高应服从正态分布服从正态分布人人的的身身高高高高低低不不等等，，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。

点 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外高外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布. .(III) 、、设设X~ ,X的分布函数是的分布函数是( (IV)IV)、、标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. ., ,则则 ~N(0,1) 设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. .（（V V）、）、正态分布表正态分布表表中给的是表中给的是x>0时时, Φ(x)的值的值.当当-x<0时时若若~N(0,1) 若若 X～～N(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在[-[-3,3] ]区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当X～～N(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974（（VIVI）、）、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作““3 3 准则准则”” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. . 例例1 （（1））假设某地区成年男性的身高（单假设某地区成年男性的身高（单位：位：cmcm））X～～N( (170,7.,7.692) )，，求该地区成年求该地区成年男性的身高超过男性的身高超过175175cmcm的概率。

的概率 解解: (1) : (1) 根据假设根据假设X～～N( (170,7.,7.692) )，，则则故事件{X>175}的概率为P {X>175}==0.2578解解: (2) : (2) 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X≥ h)≤0.01或或 P(X< h)≥ 0.99，，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .（（2 2）公共汽车车门的高度是按成年）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在男性与车门顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的，问车门高度应如何确定来设计的，问车门高度应如何确定? ?因为因为X～～N( (170,7.,7.692),),故故 P(X< h)=0.99查表得查表得 ( (2.33)=)=0.9901>0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188设计车门高度为设计车门高度为188厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X< h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的h .若若 r.v. X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X ～～ U[a, b]二、均匀分布二、均匀分布(Uniform)（注：（注：X ～～ U（（a, b））））均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。

上的均匀分布若X ～～ U[a, b]，，则则对于满足对于满足的c,d, 总有则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命中，如元件的寿命.三、三、指数分布：指数分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度常简记为常简记为 X~E( ) . 这一讲，我们介绍了连续型随机变量、这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质概率密度函数及性质 还介绍了正态分布，还介绍了正态分布，它的应用极为广它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道泛，在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布;还还要给出德莫佛极限定理的证明要给出德莫佛极限定理的证明.　　另外我们简单介绍了均匀分布和指另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布数分布一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分的分布，布，求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布. 第二章第四节 随机变量函数的分布又如：已知又如：已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等. 一般地、设随机变量一般地、设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的的分布求出分布求出 Y 的分布？的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的上都是重要的.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，，2，，5 时，时， Y 取对应值取对应值 5，，7，，13，，例例1设设X求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.～～而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，，X的概率函数为的概率函数为X ～～则则 Y=g(X)～～如：如： X ～～则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：Y ～～三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，，例例2设设 X ~求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y )=P{ X } = FX( )于是于是Y 的密度函数的密度函数故故注意到注意到 0 < x < 4 时，时， 即即 8 < y < 16 时，时， 此时此时Y=2X+8例例3设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的概率密度.求导可得求导可得当当 y>0 时时, 注意到注意到 Y=X2 0，，故当故当 y 0时，时，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，，若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从{ g(X) ≤ y }中解出中解出X,从而得到与从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的等价的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 {2X+8 ≤ y }{ X } 用用 代替代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从的分布，从而求出相应的概率而求出相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 当当时时故故解：注意到解：注意到, =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）） 当当01, G(y)=1;对对y<0 , G(y)=0;由于由于对对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)=P(X ≤ (y))=F( (y))= y即即Y的分布函数是的分布函数是求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见, Y 服从服从[0，，1]上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.  下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度 .其中，其中，此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间[a,b]，，具有概率具有概率密度密度 f(x)的连续型的连续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且对于任意对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，，它的概率密度为它的概率密度为例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx<0,故故 y=-2lnx>0, 于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取注意取绝对值绝对值已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 对于连续型随机变量对于连续型随机变量，，在求在求Y=g(X) 的的分布时，分布时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转转化为化为X在一定范围内取值的形式在一定范围内取值的形式，从而可以，从而可以利用利用 X 的分布来求的分布来求 P { g(X)≤ y }.这一讲我们介绍了随机变量函数的分布这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.。