线性空间的定义与性质.ppt

　　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是　　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．　　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是　　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．问题．一、线性空间的定义一、线性空间的定义　　　　若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作定义１定义１ 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域．如果为实数域．如果对于任意两个元素对于任意两个元素 　，总有唯一的一个元　，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．上的向量空间（或线性空间）．　　　　2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．．向量空间中的向量不一定是有序数组．　　　　3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明说明　　　　1．． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算．．　　（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运　　（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．算的封闭性．例１例１ 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．．线性空间的判定方法线性空间的判定方法　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．算满足线性运算规律．例４例４ 正弦函数的集合正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．间．是一个线性空间是一个线性空间.例５例５ 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．空间．一般地一般地例６例６ 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．对上述加法与乘数运算构成线性空间．　　（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运　　（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．否满足八条线性运算规律．证明证明所以对定义的加法与乘数运算封闭．所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：所以所以 对所定义的运算构成线性空间．对所定义的运算构成线性空间．不构成线性空间．不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例７７ 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体1 1．零元素是唯一的．．零元素是唯一的．证明证明　　　　　　　　　　假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，由于由于所以所以则对任何则对任何 ，， 有有二、线性空间的性质二、线性空间的性质2 2．负元素是唯一的．．负元素是唯一的．证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ，，那么那么则有则有向量向量 的负元素记为的负元素记为证明证明4．．如果如果 ，，则则 或或 . 证明证明假设假设那么那么又又同理可同理可证：若证：若 则有则有三、线性空间的子空间三、线性空间的子空间定义定义2 2　设　设 是一个线性空间，是一个线性空间， 是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间．的子空间．定理　线性空间定理　线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是： 对于对于 中的线性运算封闭．中的线性运算封闭．解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对例例8 8有有即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意对任意有有于是于是满足满足且且　　线性空间的元素统称为　　线性空间的元素统称为““向量向量””，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线线性性空空间间是是一个集合一个集合对所对所定义的加法及数乘运算封闭定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算四、小结四、小结　　线性空间是二维、三维几何空间及　　线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. .思考题思考题思考题解答思考题解答。