高考数学浙江理科一轮【第三章】导数及其应用 第三章 3.1.doc

精品资料§3.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数1． 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．2． 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.3． 任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋，k∈Z}＋－＋－4． 三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线　(Ⅰ)　　　　　(Ⅱ)　(Ⅲ)　　　　　(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角． (　×　)(2)锐角是第一象限角，反之亦然． (　×　)(3)终边相同的角的同一三角函数值相等． (　√　)(4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限． (　√　)(5)α∈(0，)，则tan α>α>sin α. (　√　)(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. (　√　)2． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360°＋π (k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)答案　C解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．3． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 (　　)A．1 B．4C．1或4 D．2或4答案　C解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.4． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.答案　－8解析　因为sin θ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.5． 函数y＝的定义域为________．答案　(k∈Z)解析　∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．题型一　角及其表示例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________．(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．思维启迪　(1)利用终边相同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并；(2)根据α的范围求2α的范围，再确定终边位置．答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z}(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上．解析　(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．　(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是 (　　)A．第一象限中的角一定是锐角B．终边相同的角必相等C．相等的角终边一定相同D．不相等的角终边一定不同(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.答案　(1)C　(2)－675°或－315°解析　(1)第一象限角是满足2kπ<α<2kπ＋，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．(2)由终边相同的角关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.题型二　三角函数的概念例2　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于 (　　)A．－ B．－ C. D.(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是 (　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角思维启迪　(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的 直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求 值．(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断．答案　(1)B　(2)C解析　(1)取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角．思维升华　(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．　(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)A．－ B．C．－ D．(2)若θ是第二象限角，则________0.(判断大小)答案　(1)B　(2)<解析　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－，∴m>0，∴＝，即m＝.(2)∵θ是第二象限角，∴－10，∴<0.题型三　扇形的弧长、面积公式的应用例3　已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪　(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)，S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50 (cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·2＝α·＝·≤.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.思维升华　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2.　已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．答案　1 cm　2　1 cm2解析　设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.数形结合思想在三角函数中的应用典例：(14分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．思维启迪　(1)求定义域，就是求使3－4sin2x>0的x的范围．用三角函数线求解．(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定．②sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．规范解答解　(1)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－