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概率初步 【知识点】 1、事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件 ，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件 ， 必然事件和不可能事件都是确定的 （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件 （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， 必然事件发生的概率为1，即 P（必然事件） =1； 不可能事件发生的概率为0，即 P（不可能事件） =0； 如果 A 为不确定事件 （随机事件），那么 0P（A） 1 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：P(A)= m n 2、可能性大小 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进 行的计算； 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：扔色 子，对游戏是否公平的计算 （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的 估计值，即大量实验频率稳定于理论概率 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算如，利用计算器产生随机数来模拟实验 3、概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件 A 的概率，记为P（A）=p （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现 （3）概率取值范围：0p1 （4）必然发生的事件的概率P （A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0 （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0 （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解 什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具 体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题 4、列举法（包括列表法和树状图法） （1）列表法 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式， 列出所有可能的结果， 再求出概率 列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或 B的结果数目m ， 求出概率 P(A)= 事件所有可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 （2）树状图法 求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为 不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图 树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝 丫个数就是总的可能的结果n P(A)= 事件所有可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举 5、 利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频 率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通 过统计频率来估计概率 6、 几何概型的概率问题 是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G ，又区域 g 包含在区域G内（如 图） ，而区域 G与 g 都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M ，假设点 M必落在 G中，且 点 M落在区域 G的任何部分区域g 内的概率只与g 的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g 的位置 和形状无关具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型关于几何概型的随机事件“向区域G中任 意投掷一个点M ，点 M落在 G内的部分区域g”的概率P定义为： g 的度量与 G的度量之比， 即 P=g 的测度 G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率计算方法是长度比，面积比，体积比等 7、游戏公平性 （1） 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小， 概率相等就公平， 否则就不公平 （2）概率 =所求情况数总情况数 【考点例析】 1、事件的判断 1在下列事件中：投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；投掷一枚均匀的骰子，6 点朝上；任意找367 人中，至少有2 人的生日相同；打开电视，正在播放广告；小红买体育彩票中奖；北京明年的元 旦将下雪；买一张电影票，座位号正好是偶数；到2020 年世界上将没有饥荒和战争；抛掷一只 均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；在标准大气压下，温度低于0时冰融化； 如果 a，b 为实数，那么abba；抛掷一枚图钉，钉尖朝上 确定的事件有 ___ ___；随机事件有 ___ ___，在随机事件中，你认为发生的可能性最小 的是 ____ __，发生的可能性最大的是_____ _( 只填序号 ) 2下列事件中是必然事件的是( ) A从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 B小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C小红期末考试数学成绩一定得满分 D将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 3同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数 下列事件中是不可能事 件的是 ( ) A点数之和为12 B点数之和小于3 C点数之和大于4 且小于 8 D点数之和为13 4下列事件中，是确定事件的是( ) A明年元旦北京会下雪B成人会骑摩托车 C地球总是绕着太阳转D从北京去天津要乘火车 5下列说法中，正确的是( ) A生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生 B生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件 C生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生 D生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生 2、概率的计算 1下列说法：频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；做n 次随机试验， 事件 A 发生 m次，则事件A 发生的概率一定等于 m n ； 频率是不能脱离具体的n 次试验的实验值，而 概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值其 中正确的是 ____ _(填序号 ) 2 在一篇英文短文中， 共使用了 6000 个英文字母 ( 含重复使用 ) ， 其中“正”共使用了 900 次，则字母“正” 在这篇短文中的使用频率是_ _____ 3下表是一个机器人做9999 次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率 抛掷结果5 次50 次300 次800 次3200 次6000 次9999 次 出现正面的频数1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率2062455149.4 49.7 50.1 (1) 由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5 次时，得到1 次正面，正面出现的频率是20，那么， 也就是说机器人抛掷完5 次后，得到 ______次反面，反面出现的频率是______； (2) 由这张频数和频率表可知， 机器人抛掷完9999 次时，得到______次正面，正面出现的频率是______； 那么，也就是说机器人抛掷完9999 次时，得到 ______次反面，反面出现的频率是______； (3) 请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______ 4某个事件发生的概率是 1 2，这意味着 ( ) A在两次重复实验中该事件必有一次发生 B在一次实验中没有发生，下次肯定发生 C在一次实验中已经发生，下次肯定不发生 D每次实验中事件发生的可能性是50 5在生产的100 件产品中，有95 件正品， 5 件次品从中任抽一件是次品的概率为( ) A0.05 B0.5 C0.95 D95 6从不透明的口袋中摸出红球的概率为 1 5，若袋中红球有 3 个，则袋中共有球( ) A5 个B8 个C10 个D15 个 7柜子里有5 双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 5 D 1 10 8某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率 (1) 计算表中各次比赛进球的频率； (2) 这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 3、用列举法求概率 1一个袋中装有10 个红球、 3 个黄球，每个球只有颜色不同，现在任意摸出一个球，摸到______球的可 能性较大 2掷一枚均匀正方体骰子，6 个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则有： (1)P( 掷出的数字是1) ______；(2)P( 掷出的数字大于4)______ 3某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上( 如图所 示) ，转盘可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品则 获得钢笔的概率为______，获得 ______的概率大 n m 4一副扑克牌有54 张，任意从中抽一张 (1) 抽到大王的概率为______； (2) 抽到 A的概率为 ______； (3) 抽到红桃的概率为______； (4) 抽到红牌的概率为______；( 红桃或方块 ) (5) 抽到红牌或黑牌的概率为______ 5一道选择题共有4 个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对 的概率为 ( ) A1 BCD 6掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6 个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“ 3”朝上的概率为( ) ABCD 7一个口袋共有50 个球，其中白球20 个，红球 20 个，蓝球 10 个，则摸到不是白球的概率是( ) ABCD 8柜子里有两双不同的鞋，取出两只刚好配一双鞋的概率是( ) ABCD 三、解答题 9有 10 张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2 的倍数的卡片的概率是多少?3 的倍数呢 ?5 的倍数呢 ? 2 1 3 1 4 1 6 1 4 1 3 1 2 1 5 4 5 3 5 2 5 1 2 1 3 1 4 1 6 1 10小李新买了一部，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是09 这 10 个数字中的一个 ) ，第二 天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开的概率是多少? 11一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同 (1) 如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少? (2) 小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随 机摸出一个小球，记下颜色当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李 赢请你分析这个游戏规则对双方是否公平?并用列表法或画树状图法加以说明 12经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转如果这三种可能性大小相同，三 辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1) 三辆车全部直行； (2) 两辆车向右转，一辆车向左转； (3) 至少有两辆车向左转 4、利用频率估计概率 150 张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频 率依次是 16、 24、 8、 52，估计四种花色分别有______张 2在一个 8 万人的小镇，随机调查了1000 人，其中有250 人有订报纸的习惯，则该镇有订报纸习惯的人 大约为 ______万人 3 为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉 10 只，全部做上记号后放飞过了一段时间后， 重新捕捉 40 只， 其中带有标记的天鹅有2 只据此可估算出该地区大约有天鹅______只 。