单电子原子波函数和原子轨道的绘制与理解.doc

对单电子原子波函数和原子轨道的绘制与理解扯淡，之所以成为理论，之所以具有科学性，是因为有数据的支持；而“真理” ，之所以成为扯淡，是因为失去了数据的支持薛定谔方程是一个很奇妙的等式，求解出的波函数能够很好的描述原子核外电子的特征，而进行变量分离，将波函数分离成角度函数和径向函数更是极具智慧利用前人解出的薛定谔方程的解，绘制波函数、轨道图形，在绘制这些图过程的对数据的操作和使用，有助于从数据层面上理解原子的电子结构前言核外只有一个电子的原子称为单电子原子，如 H 原子和 He+、Li2+等类氢离子对单电子原子，容易得到其薛定谔方程 Erμπh-0224Ze-8将上述方程从笛卡尔坐标形式转换为球极坐标形式，而后进行变量分离，可以解出表征原子状态的波函数[1]波函数 ψ 决定了电子在空间的概率密度分布利用图形将电子的空间分布表示出来，将抽象的数学表达式具体化为图像，对于了解原子的结构和性质、了解共价键的形成，从而了解原子化合为分子的过程具有重要的意义1. Ψ2-r 图已知了原子的波函数后，Ψ 2-r 图比较容易得到但是它表征的信息比较少，因为只有一个变量 r，即与 θ 和 φ 相关的信息不能表征或不能直接表征。

因为s 态的波函数与 θ 和 φ 无关，利用数学软件处理波函数，得到 1s、2s 和 3s 态的 Ψ2-r 图，如下1 2 3 4 5 6 7 8 90246810121416x 10-4r/a0Ψ21s2s3s从上图可以清晰的看出，对于 1s 态，电子出现的概率密度在核附近最大，随 r 的增大而减小，在 r>5a0 时就已经稳定在一个很小了（低于 1.5×10-5） 对于 2s 态和 3s 态，分别出现了 1 个和 2 个节点（3s 态的第二个节点未在图上表示） ，转换到空间视角，对 ns 态波函数，有 n-1 个节面2. 径向分布图Ψ2-r 图是表征概率密度的，并没有直接表征概率分布为了更加形象的表征电子的状态分布，利用得到概率密度，通过积分获得概率分布图根据下式积分，计算计算径向分布函数，drD02sin得到 H 原子 1s、2s、3s 和 2p、3p、3d 态的径向波函数图像如下（直接利用D=r2R2 得到同样的结果）：0 1 2 3 4 5 6 7 800.10.20.30.40.50.60.7r/a0D(1s)0 2 4 6 8 10 12 14 16 1800.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2r/a0D(2s)0 5 10 15 20 25 3000.020.040.060.080.10.12r/a0D(3s)0 5 10 1500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2r/a0D(2p)0 5 10 15 20 25 3000.020.040.060.080.10.12r/a0D(3p)0 5 10 15 20 25 3000.020.040.060.080.10.12r/r0D(3d)由图可见，主峰位置随主量子数 n 增加而远离核，随角量子数 l 增加而向核移近。

原子的轨道迥异于宏观的圆周或椭圆运动，电子可以接近核或远离核，这应该是多电子体系中钻穿效应和屏蔽效应的来由3. 角度分布图 P 轨道的简并度为 3，而 3 条 p 轨道的径向分布图是重合的，它们在空间分布的不同取向可以利用角度波函数表示出来通过薛定谔方程求解出的角度波函数，可以绘制出 1s、2p 和 3d 轨道的角度波函数原子轨道 ψ 是 r、θ 和 φ 的函数Ψ 在原子核周围空间各点上的数值随 r，θ和 φ 变而改变类似于描述地球上某元素分布，我们可以制作出一个模拟实体，但是难以用三维图来表示出来因为原子轨道图像的形状，主要由其角度分布图决定，而原子轨道图像的大小，主要是由其径向分布图决定为方便起见，通常采用原子轨道的角度分布图近似代替原子轨道图像角度分布图其实就是ψ 函数的一个等值曲面S、P、d 轨道的角度波函数 Y（θ，φ）绘制得到角度分布图（只给出 s、pz 和 dz2 的径向分布图）-0.5 0 0.5-0.500.5 2pz函函函函函函函xz+--0.4 -0.2 0 0.2 0.4-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8xzdz2函 函 函 函 函 函 函++--4. 原子轨道原子轨道 ψ 是 r、θ 和 φ 的函数。

Ψ 在原子核周围空间各点上的数值随r，θ 和 φ 变而改变类似于描述地球上某元素分布，我们可以制作出一个模拟实体，但是难以用三维图来表示出来因为原子轨道图像的形状，主要由其角度分布图决定，而原子轨道图像的大小，主要是由其径向分布图决定为方便起见，通常采用原子轨道的角度分布图近似代替原子轨道图像角度分布图其实就是 ψ 函数的一个等值曲面绘制的原子轨道如下：-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3-0.2-0.100.10.20.3 s函函函函函函函-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3函函函函函s函函原子轨道图，更确切的讲，应该是轨道轮廓图，是原子轨道空间分布的简化，它在化学中有这很重要的意义，在化学中的价键理论、对称性匹配等问题上有着等有很大的帮助5. 结束语理论的正确性与实用性，是用数据来支持的，也是靠数据来向深度和广度方向发展波函数和原子轨道图成为了电子排布、能量计算、化学键本质等问题的基础越来越深入、越来越复杂的数学处理，会将量子化学变得越来越完善，越来越系统，也可能会带来几朵乌云。

参考书籍[1] 结构化学基础（第四版） ，周公度 段运连，北京大学出版社，2008.1[2] 高等无机化学，关鲁雄，化学工业出版社，2004.9。