浅谈实数的完备性.docx
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LIAOCHENG UNIVERSITY本科毕业论文题目 浅谈实数的完备性专 业 信息与计算科学作者 唐星星学 号 2013201334单位 数学科学学院指导教师 张冬梅2017年5月教务处编原创性声明本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下， 独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论 文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究作出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名： 日期:指导教师签名:日期:目录摘要 3Abstract 4前言 01. 实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位 12. 实数集的完备性 13. 实数六个基本定理的描述和证明 13. 1闭区间套定 13. 2.确界的表达 23. 3有限开覆盖 4定理3〔有限覆盖定理〕 5聚点的定义 6定理4〔聚点定理〕 63. 5致密性定理 73. 6柯西收敛准则 73. 7单调有界定理 84. 实数循环定理的证明 94. 1确界定理n闭区间套定理 94. 2区间套定理n有限覆盖定理 94. 3有限覆盖定理n聚点定理 104. 4聚点定理n致密性定理 104. 5致密性定理n柯西收敛准则 104. 7单调有界n确界定理 11 116.实数完备性定理过程中的一些注示 126. 1关于实数完备性定理的循环证明过程 126. 2关于实数完备性定理的起点 12参考文献 15致谢 16摘要本文主要是叙说实数的完备性定理和它的证明以及在数学上所占的地位，对 今后数学发展起到怎么样的作用；实数完备性六个相互定理的证明.它们之间是 相互等价的，即任取其中两个定理，都可以相互证明.关键词：实数的完备性定理；等价性；循环证明；实数基本定理AbstractThis article is about the completeness of the real numbers on the theorem and its proof in mathematics and the status of, how are mathematics play a role in the future; proving theorems in real number completeness in six mutual . They are equivalent to each other, that is, any two theorems, can be proved.Key words: Real completeness theorem equivalence; cycle proof real fundamental theorem刖言数学分析的基础是实数理论。
对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性，拥有这两种属性，才可以对于极限连续，微分和积分展开深入探究讨论是在对于函数的各种极 限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系浅谈实数的完备性1. 实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位实数集的连续性是实数集区别于有理数集的一个重要特征，是实数集其中的优点，而 实数完备性又是数学分析中的一个基础，再加上数学分析是数学专业的必修课程之一.实 数域的完备性是人们经过长期的探索与研究里一步步总结认识的，它是所有函数分析理论 的本质基础，由此获得了极限论、微积分学等许多重要的数学成果.数学分析的基础是实数理论.对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性， 拥有这两种属性，才可以对于极限连续，微分和积分展开深入探究讨论是在对于函数的各种 极限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系，不仅只是 在《数学分析》中谈论到，还在《实变函数》中进一步研究过.2. 实数集的完备性对于实数的完备性，几位著名数学家基于各个视角，采取多种方法加以阐述；在刘玉 莲所写的课本《数学分析》中分别列出了实数完备性定理的六个基本定理，而这六个定理 分别是1、闭区间套定理2、确界定理3、有限覆盖定理4、聚点定理5、致密性定理6、柯 西收敛准则，它们是基本等价的可以出现循环证明及应用，在以后得数学中起到很大的作 用；我也是参照他的书定理开始证明，并用另一种顺序开始证明的，以此来说明它们的等 价关系以及六个定理的重要性.3. 实数六个基本定理的描述和证明3.1闭区间套定3. 1. 1定理1〔闭区间套定理〕 设有闭区间{[a ”，气]}.假设1)[a，b ] d [a，b ] d ... d [a，b ] d ...;1 1 2 2 n n2) lim (b _a ) =0.ns n n则存在唯一的实数l是属于所有的闭区间〔即8 [气，b〃] = l )，且n=1lim a = limb = l (3.1.1)ms n ns n证明 由条件1〕可知，数列为递增并且是有界的数列，由单调有界定理可知， 有极限 l，且有 a < l，(n = 1,2,3...).同理，递减并且有界的数列也是有极限，并按区间套的条件2〕可有lim a = lim b = l.ns ns n且b < l，n = 1,2,3....综上，可得a < l < b，n = 1,2,3....下面证明满足an < l < bn，n = 1,2,3....的l是唯一的.设数l'也满足a < l' < b，n = 1,2,3....则V由 a < l < b ； n = 1,2,3...可以有 |l -1 '\ <(b - a)，n = 1,2,3...由区间套的条件2〕得l — l' < lim (b - a ) = 0 (3.1.2)ns n n故有l' = l.注 区间套定理里的闭区间如果更改成开区间的话，则结论就将出现改变，并不必然 成立.例如对于、 \( 1 \开区间列\ 0,1，显然可得l是不存在的.3.2.确界的表达定义一设E是非空数集，假设存在P G R，且对于任意x e E ,有x < P ;2）任意8 < 0 ,存在七e E ,有p -e < * .则称p是数集E的 上确界，记为P = sup E定义二 设E是非空数集，假设存在pe R，且1〕对于任意x e E，有a< x ；2〕对于任意8 >0,存在X0 e E，有X0 n .把半开区间】n,n +1）平均分成10等分，分点为n.1,n.2,,n.9，则在0,1,2, ,9中存在一个数 %，使得11） 对于任何x e E有x < n.n n +仍-2） 存在 a e E，使 a > n.n n .2 2 1 2继续将其平均分为10个等分点，则在上一步骤里得获得的半开区间，能够得出对于任何存 在0,1,2,... 9中的一个数nk，都会使得11） 对于任何x e E有x < n.n n ...n + j^—2） 存在a e E，使 a > n.n n ...n .k k 1 2 k将上面的步骤无限地继续进行下去，可以得出一个实数门=n.n1 n2...气.....以下证明门=sup E . （3.2.1）因此只需要证明：1） 对一切 x e E 有 x
