圆在物理解题中的妙用.docx

圆在物理解题中的妙用圆是完美的象征在我们的周围圆随处可见；在物理学中圆的知识应用非常广泛下面 列举的是圆在求解物理问题时的巧妙应用一、用半径表示大小相等的矢量例1、已知力F的一个分力F1跟F成30角，大小未知，另一个分力F2的大小为寸'3&/3，方向未知，则瞬大小可能是（） …A、&/3 B、导/2 ' ：、：- O : B~~，C、2、3F/3 D、好 一 L图1解析：根据题意先作出F1跟F成300角，再以O点为圆心、•、百F/3为半径作圆，然后过F未端作F1的平行线交圆于C、D两点，则OC、OD为F2的两种可能方向，由平行四边形法则可知耳的大小有两种可能值图1中OB、OB为 耳的大小可能值由三角形知识求出正确答是A、C二、用弦设置运动的比较两个重要结论：（1）物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用的时间都 等于它沿圆的直径做自由落体的时间2）物体从竖直圆环的圆周上沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周的最低点，所用的时间都等于它沿圆的直径做自由右歹条七落体的时间 /刃艾容例2、如图2所示，由竖直墙壁和斜坡构成一凹形槽，竖直 O<>^ ：墙壁和斜坡相交于O,从墙最高处A到斜坡有两条光滑的轨道AB、AC，已知OA=OB，C点在B点的下方。

两小孩同时从A '、•-»•"处开始自由滑下，问两小孩谁最先滑到斜坡？ 图2解析：该题似乎少了条件，给思维造成了很大障碍如果用上面结论（1）该题可即刻求解因OA=OB，故可以O点为圆MOA为半径作圆，AB为圆的一条弦，由结论（1）可知，沿AB滑下的小孩比沿AC滑下的所用时间长，即沿AC滑 下的小孩先达到斜坡例3、如图3所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距h， B点离地高度为H，现要在地面上找到一点C，使得物体由静止 沿从A、B两点分别向C点安放的光滑木板滑动时，满足运动 时间相等求O到C的距离解析：由结论（2）可知，该题中涉及的A、B、C三点分别 是竖直圆周上的三个不同位置，其中C点是最低点；AC和BC分别是圆的两条弦画出过A、B两点并与地面相切的圆，切点即为满足题设条件的C点 由几关系有 R = H + h/2由直角三角形知识有 OC =R -（ H 22）孔 H（ H h三、用切线求解最值问题例4、如图4所示，在匀强电场中，将一电荷量为q、质量为m的小球由静止释放，带 电小球的运动轨迹为一条直线，该直线与竖直方向的夹角为9下列对电场强度大小说法正 确的是A、C、唯一值 mg tan9 / q B、最大值 mg tan9 / q最小值mg sin9 / q D、以上说法都不正确解析：由题设可知，带电小球受重力和电场力作用且合力方向与运 动方向相同，即与竖直方向成。

角根据力的合成法则可知，电场方向 不是唯一的并且没有最大值，故A、B错误；在图4中，以重力的未端 为圆心画出与合力方向相交的所有圆中，合力方向与圆相切时对应的电 场力最小，由三角形知识可知这一最小值为mg sin9 ，故C正确四、用圆的对称性挖掘隐含条件 pT"―个例4、如图5所示，正方形匀强磁场区域边界长为a，由光滑绝缘壁围 B a成质量为m，电量为q的带正电粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正| 中央a孔射入磁场中，粒子碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞 一A― 时间，磁感应强度大小为B，粒子在磁场中运动的半径小于a欲使粒子 5 仍能从A孔射出，粒子的入射速度应为多大？在磁场中运动时间为多长？解析：当粒子垂直于磁场方向进入磁场且只受洛仑兹力作用时，粒子的运动轨迹是圆（或 圆弧）粒子从A孔射入又要回到A孔，经历了什么样的路径？这是本题的难点，同时也是 题设中一个关键性的隐含条件，要突破这一难点，必须联想到圆运动的对称性当粒子垂直 于边界进入磁场时，必定经过一系列对称形式的运动才有可能回到出发点粒子的运动可能 是图6甲、乙两种形式（这种对称性构成一幅美丽的窗帘也只有圆才具有这种对称美）。

由于粒子的速度大小并未确定，实际上，图6甲的运动形式中粒子的碰撞次数是多种可 能的由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径可能为T =些 qBR = 27^1)mv 2 又qvB=飞- RqBa所以 v = 2(2 n + 1)m2(2n + 以 mt = (4n + 1)T = ( n = 0,1,2 )qB同样，对于图6乙的运动形式，粒子的碰撞次数也是多种可能的，而且，当粒子恰好运 动到正方形的顶角并反弹后，由于粒子受到的洛仑兹力垂直于竖直边，粒子只可能沿着竖直 边作匀速直线运动，由几何关系可知粒子做圆周运动的半径可能为r，= M4kT '=袂=tqBqBa所以俨4km11 = 2kT + 四=4顷兀 +2)v' qB(k = 1,2 ……)五、用相切圆的特性化解难点例5、两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线加轴和y轴，交点o为原点，如图7所示，在y>0, 00, x>a区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的匀强磁场大小均为B在o点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q （q>0）的粒 子沿X轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平的屏上， 使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值 之间的各种数值已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为 2:5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期试求两个荧光屏上亮线的范围（不 计重力的影响）解析：该题的难点是如何确定速度最大的带电粒子做圆周运动时圆心的位置粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为:mvr =——qB速度小的粒子将在x

设11为粒子在0a在区域中的运动时间，由题意可 知t 2T =— t2 5Tt + t_ 7T=125T由此解得：t1=6②t=212③由②③式和对称性可得:AOCM =6Oo ④/MC'N = 60 ⑤ZMC'P = 150 o ⑥所以 ZNCfP = 15Oo-6Oo=9Oo ⑦即泌 为四分之一圆周因此圆心C'在X轴上设速度最大值粒子的轨迹半径为R ,由直角三角形COC'可得2Asin©& a 22^3得 R = 3 a ⑧由图可知OP = 2a + R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界坐标为赵斌（湖南长沙市第六中学410000）。