2022年第1至第5届全国大学生数学竞赛真题及答案2.docx

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学学问,适当看一些书及相关题目,主要是一些各大高校的试题. ）2021 年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一，填空题（每道题 5 分,共 20 分）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1. 运算〔x y〕 ln〔1y 〕x dxdy ,其中区域 D 由直线 xy 1与两可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载D 1 x y坐标轴所围成三角形区域 .0 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解:令 xy u, xv ,就 xv, yu v ,dxdydet1dudv1dudv ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 x y〕 ln〔1y 〕x dxdyu ln u u ln vdudv可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载D 1 x yD 1 u1 u ln u u〔 dvu u ln vdv〕du可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载0 1 u 01 u 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 u20 1ln uuu〔u ln u1 uu) du可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载令 t 1u ,就 u1 t 21 u20 1 udu （* ）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载du 2tdt , u21 2t 2t 4 , u〔1 u〕t 2 〔1t〕〔1t〕 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔*〕02 〔 112t 2t 4 〕dt可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载12 〔102t 2t 4〕dt2 t 2 t 332 211 t 5 165 0 15可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2. 设f 〔 x〕 是连续函数,且中意f 〔x〕 3xf 〔x〕dx02 , 就f 〔x〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解:令 A2f 〔 x〕dx ,就0f 〔x〕3x2 A 2 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2A x 2A 2〕dx8 2〔 A 2〕4 2A可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 3 ,04 2 10可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解得 A .因此3x2f 〔x〕 3 x .3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3. 曲面 z2y 2 2 平行平面 2 x 2 yz 0 的切平面方程是 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解 : 因 平 面 2 x 2 yz 0 的 法 向 量 为〔2,2,1〕 , 而 曲 面 z x22y 2 2 在可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 x0 , y0 〕处 的 法 向 量 为〔 zx 〔x0,y0 〕, zy 〔 x0,y0 〕, 1〕 , 故可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 zx 〔 x0 , y0〕, zy 〔 x0,y0 〕,1〕 与〔 2,2,1〕 平 行 , 因 此 , 由 zxx , zy 2 y 知可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 zx 〔x0,y0 〕x0 ,2zy 〔 x0,y0 〕2 y0 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载即 x02, y01 , 又z〔 x0, y0 〕z〔 2,1〕5 , 于 是 曲 面 2 x 2 yz 0 在可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载〔 x0 , y0 , z〔 x0, y0〕〕处的切平面方程是2〔 x2〕 2〔 y 1〕 〔 z 5〕0 ,即曲面可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2z x y222 平行平面可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 x 2 yz 0 的切平面方程是 2 x 2 yz 1 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载4. 设函数 y y〔x〕 由方程d 2 yxe f 〔 y〕ey ln29 确定,其中 f 具有二阶导数,且 f1 ,就可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载dx2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解:方程xef 〔 y〕ey ln29 的两边对 x 求导,得可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载e f 〔 y〕xf 〔 y〕 y e f 〔 y 〕ey yln 29可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载因 eyln 29xef 〔 y〕 ,故 1xf 〔 y〕 yy ,即 yx〔11f 〔 y〕〕,因此可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载d 2 y 12 y 2f 〔 y〕 y2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载dx x 〔1 f 〔 y〕〕f 〔 y〕x[1 f 〔 y〕]1 f 〔 y〕 [1f 〔 y〕] 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x2[1 fex〔 y〕] 3e2 xx2 〔1enxf 〔 y〕〕ex2[1f 〔 y〕] 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载二，（ 5 分） 求极限lim 〔〕 x ,其中 n是给定的正整数 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解:因xlim 〔ex 0e2 xenx e〕 xnxlim 〔1 ee2 xenxen〕 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0故xA lim ene2 xx 0 nenx n e可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0xe lim ee2 xn xenx n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0e limnxex 2e2 xnenxe 1 2n n 1 e可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载因此xlim 〔 ex 0e2 xnenx e〕 x eAn 2n 1ee 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载三，（ 15 分）设函数f 〔 x〕 连续,g〔 x〕1f 〔 xt〕dt ,且 limf 〔x〕A , A 为常数, 求 g〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载并争辩 g 〔 x〕 在 xf 〔 x〕00 处的连续性 .x 0 xf 〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解:由 limA和函数 f 〔 x〕 连续知,f 〔0〕lim f 〔 x〕limx lim 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0因 g〔x〕x1f 〔 xt〕dt ,故01g〔0〕x1f 〔0〕dt0x 0f 〔0〕 0 ,x 0 x 0 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载因此,当 x0 时,g〔 x〕xf 〔u〕du ,故x 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载limg 〔 x〕limf 〔u〕 du0limf 〔x〕f 〔0〕 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 x 0 x x 0 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载当 x 0 时, g 〔x〕1 xx 2 0 f〔u〕duf 〔 x〕,x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载g 〔0〕limg〔 x〕g〔0〕1lim xxf 〔t〕dt0limxf 〔t〕dt0limf 〔 x〕 A可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 xx 0 xx 0 x 2x 0 2 x 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载limg 〔 x〕lim [1 x f 〔u〕duf 〔 x〕 ]limf 〔 x〕lim 1x A Af 〔u〕du A可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 x 0x2 0x x 0 xx 0 x2 0 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载这说明g 〔 x〕 在 x0 处连续 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载四，（ 15 分）已知平面区域 D{〔 x,。