实数的连续性公理证明确界存在定理精品文档6页.docx

实数的连续性公理证明确界存在定理定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的， 即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数小于或等 于上类B中的每一个实数定理二 单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在定理三 确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在定理四 区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套 里，即定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0， 存在N，当n>N，m>N时，有定理一—三是对实数连续性的描述，定理四一定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界令B是全体上界组成的集合，即B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。

事实上，由有上界知B不空又 单调上升，故，即A不空由A=R\B知A、B不漏又，则，使，即A、B不乱故A|B是实数的一个分划根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有事实上，对，由于，知，使得又单调上升故当n>N时，有注意到，便有故当n>N时有，于是这就证明了若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限设极限为r,则 定理二证完定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在设数集 X非空，且有上界则，使得对，有又R是全序集，对，与有且只有一个成立故，有与有且只有一个成立故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立X有上界，实数是X的 上界若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛 盾故，使得不是X的上界，是X的上界用的中点二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取继续用二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取如此继续下去，便得到两串序列其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且单调下降有下界（例如）并且（当时）由单调上升有上界知有存在，使得①事实上，对，，当时有又都不是X上界对每一个，，使得。

故对，，使得②若，使得，则由知故，使得又都是X的上界，故对有而，故，这是不可能的故对，有综上①、②即有即X有上确界存在定理三 定理四：由条件知集合非空，且有上界（例如）故由确界定理知A有上确界，记为则对，有同理可知集合有下确界，记为则对，有又，由上可知两边取极限，令有否则由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有故有，矛盾故，记为r则对，有下证具有这一性质的点是唯一的用反证法，如果还有另一，使得由于对一切n成立，故，令，得，与矛盾故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即定理四定理五：用反证法设E是区间的一个覆盖，但 没有E的有限子覆盖记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是的E的有限子覆盖，即有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖，记为如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列，满足（i）；（ii）故构成一个区间套，且每个都没有E的有限子覆盖则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得又由覆盖的定义有，使得，即。

又由上区间套定理的证明 可知，其中故，使得，使得设，则，即有覆盖这与没有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖定理五定理六：设数列有界，即实数a,b，且a

即有极限存在充分性得证综上，定理七证完定理七 定理一：对任意给定的实数R的分划A|B，A、B非空，可任取点又分划满足不乱，用的中点二等分，如果，则取；如果分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B继续用二等分，如果，则取；如果，则取如此继续下去，便得到两串序列其中单调上升有上界（例如），单调下降有下界（例如），并且（当时）下面用柯西收敛原理来证明存在事实上如果不然，则，，，有不妨设，由单调上升有对上式都成立（），取，并把所得的不等式相加得其中k为不等式的个数故，当时而由N的取法可知对每一个k都有相应的N’与之对应，即有相应的与之对应故对，，使得即无界，与有界矛盾故存在，记为r下证对，有这等价于证明对，有事实上，，由知，使而对，由知从而，这就证明了，即证明了实数基本定理综上，这就证明了这七个定理是等价的而从证明过程来看：定理二定理三的方法 可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可运用于定理七定 理二，定理二定理四，定理四定理一而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小 数证明了实数基本定理而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数事实上我们还可 以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都 能构成反映实数本质的实数公理系统。