（完整版）度量空间的列紧性与紧性.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1 . 4 度 量 空 间 的 列 紧 性 与 紧 性1.4.1 度量空间的紧性 Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一样连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实： R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例 1.4.1 设X L2[ , ] { f| (L ) |f (x) |2dx} ，对于f , g X ，定义d ( f , g) ( |f ( x)1g( x) |2 dx) 2 ，令 { f n ( x)} {sin证明由于nx} ，那么 { f n ( x)}是有界的发散点列．所以 { fn ( x)}为有界点列．对于任意的n, m N ，有因此 { fn ( x)}不是基本列，当然不是收敛列．□定义 1.4.1 列紧集、紧集与紧空间 Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace设 X 是度量空间， A X ．(1)假如 A 中任何点列都有收敛于 X 的子列，就称 A 为列紧集 ( 或致密集 、或相对紧集) ；(2)假如 A 是列紧集，也是闭集，就称 A 为紧集 ；(3)假如 X 本身是列紧集 ( 必是闭集 ) ，就称 X 为紧空间 ．注 1： 如 A 是 X 的列紧集， { Xn } x0 A？．A 且 xnx0 (n) ，那么 x0A ？如 A 是 X 的紧集，定理 1.4.1 设 ( X , d ) 是度量空间，以下各命题成立：(1) X 的任何有限集必是紧集；(2)列紧集的子集是列紧集；(3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明(1)、(2)易证．下面仅证 (3)．假设 A X 是列紧集，但 A 无界．取 x1A固定，就存在 x2A ，使得d( x1 , x2 ) 1 ．对于x1 , x2 ，必存在 x3A ，使得d (x1, x3 ) 1 、d (x2 , x3 ) 1 ．由于 A 是无界集， 可依此类推得到 X 的点列 { X n}满意：只要 i j ，就有故 A 是有界集．d ( xi , xj ) 1 ．明显点列 { X n } 无收敛子列，从而 A 不是列紧集导致冲突，反过来， A 是有界集， A 未必列紧．反例：空间 X而不是列紧集 ( 见例 1.1) ．□2L [ , ]上的闭球B O (0, )有界，第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -注 2： R 中的开区间 (0,1) 是列紧集，却不是紧集． (由于 R 中的有界数列必有收敛子列，所以 (0,1)中的数列必有收敛子列，但 (0,1)不是闭集，故列紧不紧． )注 3： 自然数N = {1,2, ,n, }不是列紧集． ( N 无界)推论 1.4.1(1)紧空间是有界空间； (2)紧空间是完备空间．证明(1)如 X 为紧空间，那么 X 本身为列紧集，而列紧集有界，故 X 为有界空间．(2)如 X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知 X 中的基本列有收敛子列，依据基本列的性质 (如基本列含有收敛子列， 就该基本列收敛， 且收敛到子列的极限 )，可得 X 中的基本列收敛，因此 X 为完备的空间．□关于 n 维殴氏空间 Rn 中的列紧集、紧集的特性有如下定理．定理 1.4.2 设 A Rn ， Rn 是 n 维殴氏空间，那么(1) A 是列紧集当且仅当 A 是有界集；(2) A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集．证明(1)必要性明显成立；利用闭球套定理可以证明：假如 A 是有界的无限集，就 A 具有极限点，从而可证充分性．(2)由(1)易得．□注 4： 由于 R 中的非空紧集 A 就是有界闭集，定义 A 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量 (距离)空间中依旧成立．第一说明连续映射将紧集映射为紧集．引理 1.4.1 设 f 是从度量空间 ( X ,d ) 到 (Y, ) 上的连续映射 (称为算子 )， A 是 X 中的紧集，那么 f ( A) 是Y 中的紧集．证明设 E f ( A) ， 第一证明 E 是 Y 中的列紧集 ．{ yn}E ， { xn }A ，使得 ynf (xn ) ， n1,2,．由于 A 是紧集，所以点列 { xn } 存在收敛k的子列 { xn }，且 xnkx0 A ，又知 f 是 X 上的连续映射，于是limkynklimkf ( xnk )f ( x0 ) E ．即 { yn}有收敛于 E 的子列 { yn }，因此 E 为Y 中的列紧集．k再证 E 是闭集 ．设{ yn }E ， yny0 (n) ，依据 A 的紧性和连续映射 f 可得，对应的点列 { xn } ( ynf (xn ) )存在收敛的子列 { xn }， xnx0 A ．从而kky0 lim yn lim yn lim f ( xn )f ( x0 ) E ，即 E 是闭集．□定理 1.4.3 最值定理n k k k k设 A 是度量空间 X 中的紧集， f 是定义在 X 上的实值连续函数 ( 泛函) ，即那么 f 在 A 上取得最大值与最小值．f : X R ，证明设 E f ( A) ，由上述引理知 E 是 R 中的紧集．所以 E 是 R 中的有界集，于是上、下确界存在，设第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -M sup{ f ( x) | x A} ， minf{f (x) | x A} ．下证 M 是 f 在 A 上取得的最大值，同理可证 m 是 f 在 A 上取得的最小值．由确界性的定义知， n ， xn A ，使得f ( xn ) M1 ，即可得 M 1 f ( x ) M M ．1nk再由 A 为紧集知存在 { xn} { xnn n nx xnk} ，使得 * A ( k ),于是令 k ，有f ( x* )M ，因此 M 是 f 在 A 上取得的最大值．□1.4.2 度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的争论可知： (1)度量空间中的列紧集必是全有界集； (2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义 1.4.2 网设 X 是度量空间， A, B X ，给定 0 ． 假如对于 A 中任何点 x ，必存在 B 中点 x ，使得 d( x, x )，就称 B 是 A 的一个 网．即A O(x, )x B图 4.1 B 是 A 的一个 网示意图例如： 全体整数集是全体有理数的 0.6 网；平面上坐标为整数的点集是图 4.2 整数集 Z 是全体有理数 Q 的 0.6 网示意图定义 1.4.3 全有界集R2 的 0.8 网．设 X 是度量空间， A X ，假如对于任给的 0 ， A 总存在 有限的 网, 就称 A 是 X 中的全有界集 ．注 5： 依据定义可知 A 是 X 中的全有界集等价于 0 ，{ x1 , x2 , , xn }X , 使得nA O( xi , ) ，其中O( xi , )表示以xi 中心，以 为半径的开邻域．i 1引理 1.4.2 A 是度量空间 X 的全有界集当且仅当 0 ，{ x1, x2, , xn}A , 使得nA O( xi , ) ．i 1证明当 A 是全有界集时， 0 ，{ x1 , x2 , , xn }X , 使得 AnO (xi , ) ．不妨设 1 i n 有i 1 2O ( xi , ) 2A ，选取 yiO ( xi , ) 2A ，明显{ y1, y2 , , yn}Y 以及 O ( xi , )2O( yi , )，因此n nA O( xi , )i 1 2O ( yi , ) ．□i 1注 6： 在 Rn 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？仍是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理 1.4.4 全有界集的特性第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -设 X 是度量空间， A X ，如 A 是全有界集，就 (1) A 是有界集； (2) A 是可分集．证明(1)设 A 是全有界集，取 1，由定义知， n N 及{ x1 , x2 , , xn } X , 使得nA O( xi ,1) ．i 1现令 M1 max{ d ( x1 , xi )}，就易知A O( x1 , M ) ，可见 A 是有界集．2 i n(2)设 A 是全有界集，下证 A 有可列的稠密子集．1 kn由引理 1.4.2 知对于 ()，存在 B(n ) (n ) ( n)A ，使得 ( n) 1 ，n n n1,2,n { x1 , x2 , , xk n }A O (xi , n )下面证明i 1Bn 是 A 的稠密子集．n 1x A ， 0 ，存在n N ，使得 1 ，由于 B 是 A 的 1 网，故x B B ，使n00 n0 n0n0 n0 n i 11d ( x, xn0 )n0，从而，xn O ( x, ) ，即0iBn 在 A 中稠密，明显1Bn 是可列集，故 A 可分．□i 1注 7： 由上述定理知全有界集肯定是有界集，然而有界集却不肯定是全有界集．例如全体实数对应的离散度量空间界集．定理 1。