十一章动能定理.ppt

动力学动力学第十一章第十一章 动能定理动能定理§1§11-11-1力与力偶的功力与力偶的功vP上抛物体上抛物体:元功元功:总功总功:几种常见力的功几种常见力的功：：1.重力功重力功自然坐标形式自然坐标形式 ：Fx=Fy=0 Fz= - -P 重力功等于质点的重量与其起始位置与终了位重力功等于质点的重量与其起始位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关 对质点系对质点系 :2.弹性力功弹性力功A例例11-1：：固定圆环半经为固定圆环半经为R，小球套在圆环上，被长度为，小球套在圆环上，被长度为l 的弹簧约束在的弹簧约束在O点求：小球从点求：小球从A到到B的功，又从的功，又从B到到C的功解解:从从A到到B的功的功:从从B到到C的功的功:0ABC45022.503 3、万有引力的功、万有引力的功 4．作用于转动刚体的力及力偶的功．作用于转动刚体的力及力偶的功 5 5、摩擦力的功、摩擦力的功 静滑动摩擦力不做功静滑动摩擦力不做功动滑动摩擦力的功：动滑动摩擦力的功：理想约束的约束反力不做功理想约束的约束反力不做功（（1）光滑固定面反力的功）光滑固定面反力的功（（2）刚体内力的功）刚体内力的功AB由于刚体上任意两点之间的距离始终由于刚体上任意两点之间的距离始终保持不变。

因此保持不变因此故得故得§1§11-2 1-2 动能动能1、质点动能、质点动能单位单位:2、质点系的动能、质点系的动能或或由速度合成定理：由速度合成定理：柯尼希定理：柯尼希定理： 质点系的动能等于随同其质心平动的质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对其质心运动的动能之和动能与相对其质心运动的动能之和 例例1 11-21-2：： 坦克履带轮，已知：履带重坦克履带轮，已知：履带重P，，各轮重各轮重W,半径半径R,写出整个系统的动能写出整个系统的动能解解:T带带=T轮履质心轮履质心+T轮履转动轮履转动+T水平履带水平履带 Rv2v 刚体动能计算刚体动能计算1 1、平移刚体的动能：、平移刚体的动能： 2 2、定轴转动刚体的动能：、定轴转动刚体的动能： 3 3、平面运动刚体的动能：、平面运动刚体的动能： 根据转动惯量的平行移轴定理根据转动惯量的平行移轴定理 [ρC：瞬心到质心的距离]例例1 11-31-3：：均质杆均质杆AB长长l，，质量为质量为m，，滑滑块块B的质量为的质量为m，，圆柱圆柱A的质量为的质量为M，，半半径为径为R在运动过程中在运动过程中θ=θθ=θ（（t t），），试试写出在写出在θ=45θ=450 0瞬时的系统动能。

瞬时的系统动能 解：解：§1§11-3 1-3 质点系质点系动能动能定理定理 第第 个质点个质点 分别乘以分别乘以 叠加叠加 质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和两边积分两边积分 动能定理动能定理 质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力所做功的总和质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力所做功的总和 具有理想约束的刚体系统动能的变化，具有理想约束的刚体系统动能的变化，等于作用于系统上所有外力功之和等于作用于系统上所有外力功之和 例例1 11-41-4：：材料剪切实验机，摆锤重材料剪切实验机，摆锤重P P求：锤从最高求：锤从最高点下落到任意位置时杆的张力点下落到任意位置时杆的张力解解:质点方程质点方程:当当:=时, F=5P l例例1 11-51-5：：电梯的鼓轮重电梯的鼓轮重W，，半径半径r，，轿厢重轿厢重P求：轿厢下落到任意高度时求：轿厢下落到任意高度时，，钢索的张力钢索的张力解解:动能定理动能定理全反力全反力=静反力静反力+动反力动反力x例例1 11-61-6：： 纺织线轮如图，线锤半径为纺织线轮如图，线锤半径为r，，轮半径为轮半径为R，，廻廻转半径转半径 。

求：线轮以求：线轮以 角度被角度被F力拉伸时质心的加速度力拉伸时质心的加速度T1=0讨论讨论：：a<0,向后向后a=0,F过瞬心过瞬心解解:功功:T2–T1=Wa>0,向前向前微分形式微分形式:0Sa例例11-7：：卷卷扬扬机机在在不不变变力力矩矩M的的作作用用下下，，从从静静止止开开始始运运动动已已知知鼓鼓轮轮半半径径为为R1，，重重量量为为Q1，，质质量量分分布布在在轮轮缘缘上上，，圆圆柱柱半半径径为为R2，，重重量量为为Q2，，质质量量均均匀匀分分布布，，斜斜面面倾倾角角为为q q，，圆圆柱柱只只滚滚不不滑滑求圆柱中心求圆柱中心C经过路程经过路程l时的速度时的速度解解：： 受力分析受力分析不作功不作功F作功为零作功为零应用动能定理应用动能定理其中其中 于是于是 解得解得 例例11-8：：均均质质杆杆OA＝＝l，，重重P，，圆圆盘盘重重Q，，半半径径r，，可可绕绕A轴轴自自由由旋旋转转，，初初始始时时，，杆杆垂垂直直，，系系统统静静止止，，设设OA杆杆无无初初速速度度释释放放求：杆转至水平位置时，杆的角速度、角加速度求：杆转至水平位置时，杆的角速度、角加速度解解：： 受力分析受力分析运动分析：运动分析：OA杆定轴转动，圆盘平动。

杆定轴转动，圆盘平动应用动能定理应用动能定理:（（1））（（1）式两边对时间求导）式两边对时间求导例例11-9：：已知：已知：mA=m，，mB=m/2，，mC=m/3，，鼓轮的廻转半径为鼓轮的廻转半径为 ，，质量为质量为m，，鼓轮小半径为鼓轮小半径为r，，大半径为大半径为R，，C轮的半径为轮的半径为r，，物体物体A接触的摩擦系数为接触的摩擦系数为fs，，求物体求物体A下落时的速度下落时的速度解解:功功:动能动能:=30=300 0AvAPM0CBvBvC例例11-10: 重重P，，长长l的匀质杆，端部悬着重的匀质杆，端部悬着重G的物体，在的物体，在l/3处系着处系着k 系数的弹簧求：摆动时的振动方程系数的弹簧求：摆动时的振动方程解解:平衡条件平衡条件:动量矩方程动量矩方程:不考虑重力与弹簧静伸长作功不考虑重力与弹簧静伸长作功,动能方程动能方程:方程解方程解:L/3  sk( ( s + + ) )l/3没有平衡关系没有平衡关系有平衡关系有平衡关系重力与弹簧静伸长有平衡关系，重力与弹簧静伸长有平衡关系，则在功或势能式中可以不考虑则在功或势能式中可以不考虑L/3例例11-11：： 电梯轿厢重为电梯轿厢重为P，，钢索的刚性系数为钢索的刚性系数为k。

当轿厢以速当轿厢以速度度v匀速下降时钢索突然卡住，求钢索的最大张力匀速下降时钢索突然卡住，求钢索的最大张力讨论：当：讨论：当：k =3.35kN/mm，，取平衡位置为零势位，重力和弹簧的静伸长抵消：取平衡位置为零势位，重力和弹簧的静伸长抵消：v=0.5m/s, P=2.5kN,解：解：增加：增加：5.8倍倍Pd dmaxd dSt平衡位置平衡位置自然位置自然位置§1§11-4 1-4 势力场与势能势力场与势能一、势力场与有势力一、势力场与有势力 力场：力场：质点所受力矢量是位置的单值、有界质点所受力矢量是位置的单值、有界且可微的函数且可微的函数，则这部分空间称为力场则这部分空间称为力场 有势力场：有势力场：场力所作的功只决定于质点的起场力所作的功只决定于质点的起始与终了位置，则该力场称为有势力场始与终了位置，则该力场称为有势力场 二、势能二、势能 V (x、y、z) 作用在位于势力场中某一给定位置作用在位于势力场中某一给定位置M(x、、y、、z)的质点的有势的质点的有势力，相对于任一选定的零位置力，相对于任一选定的零位置M0(x0、、y0、、z0)的作功能力的作功能力 有势力的元功等于势能函数的全有势力的元功等于势能函数的全微分，并冠以负号。

微分，并冠以负号 常见势力场中的势能常见势力场中的势能1.重力场势能重力场势能:2 .弹性力场势能弹性力场势能:或或3.3.万有引力场万有引力场 例例11-13：：BC杆重杆重 ，长为，长为l，，重物重物D重重 ，弹，弹簧的刚度为簧的刚度为k，，当角当角θθ=00时，弹簧具有原长时，弹簧具有原长3l求质点系运动到图示位置时的总势能求质点系运动到图示位置时的总势能 BC杆：杆：（以（以 杆杆BC的水平位置为零势能位的水平位置为零势能位 ））（选弹簧的原长处为势能的零位置）（选弹簧的原长处为势能的零位置） §1§11-5 1-5 机械能守恒定律机械能守恒定律 或：或：质点系在势力场中运动时，动能与势能之和为常量质点系在势力场中运动时，动能与势能之和为常量 例例11-14：：重为重为P半径为半径为r的圆盘在半径为的圆盘在半径为R的圆槽内摆动的圆槽内摆动求：摆动的方程求：摆动的方程解：解：二边求导：二边求导：摆动的周期：摆动的周期：R 平衡位置平衡位置例例11-15 ：：已知约束的弹簧刚性系数为已知约束的弹簧刚性系数为k1,k2，，鼓轮的大、小轮鼓轮的大、小轮半径为半径为R、、r，，重重G 。

开始静止，然后释放求：重开始静止，然后释放求：重P的物体下的物体下落落S距离时的加速度距离时的加速度解：解：k1k2S两边求导：两边求导：例例11-16：： 重重P=100N、、长长l=20cm的匀质杆，被刚性系数的匀质杆，被刚性系数k 的弹的弹簧系在簧系在A点求：1.初时杆为水平位置（弹簧具有原长），然后初时杆为水平位置（弹簧具有原长），然后放松放松A点后的最大位移点后的最大位移2.将将A点拉到点拉到 =60°时然后放手，求时然后放手，求 =30°时的角速度值时的角速度值解：解：1.2.最大位移最大位移:ABk w w§1§11-6 1-6 动力学普遍定理的综合运用动力学普遍定理的综合运用解：解：例例11-17：：表面光滑的三角块上放重量表面光滑的三角块上放重量PA物体，一端通过滑轮悬物体，一端通过滑轮悬挂重物挂重物PB，，当当PA下滑时三角块被台阶挡住求物体下滑时三角块被台阶挡住求物体A下滑时绳索下滑时绳索的张力a a例例11-18：：重为重为P1的三角块放置光滑平面上，有一重量为的三角块放置光滑平面上，有一重量为P2的小球从斜面上滚下求：三角块滑动的加速度的小球从斜面上滚下。

求：三角块滑动的加速度解：解： 动能定理：动能定理： 动量守恒：动量守恒： 二个自由度要二个动力学方程二个自由度要二个动力学方程a a例例11-19 ：：如将小球换成小块求大滑块的滑动加速度如将小球换成小块求大滑块的滑动加速度解：解：动能定理：动能定理： a a例例11-20：： 惯量惯量J的圆柱体静止放置，将质量的圆柱体静止放置，将质量m的小球从圆柱体的小球从圆柱体的光滑槽内滚下求球下落到的光滑槽内滚下求球下落到h高度时，圆柱体的角速度高度时，圆柱体的角速度解：解：t=0：：vM0=0  0 0=0=0T1=0a aa aM ADCBfs例例11-21：：大圆盘的半径大圆盘的半径R是小圆盘是小圆盘r的两倍，已知的两倍，已知:圆盘重量为圆盘重量为G，，物体重量为物体重量为P，，B物体与地面的摩擦系数物体与地面的摩擦系数fs求：当物体求：当物体A以初速度以初速度v0下落到一倍初速时的高度下落到一倍初速时的高度h.解：解：有有:11-22:均均质质圆圆盘盘质质量量为为m，，半半径径为为R，，弹弹簧簧刚刚度度为为k，，CA＝＝2R为为弹弹簧簧原原长长，，在在常常力力矩矩M作作用用下下，，由由最最低低位位置置无无初初速速度度地地在在铅铅垂垂平面内绕平面内绕O轴向上转。

求达到最高位置时，轴承轴向上转求达到最高位置时，轴承O的约束反力的约束反力解解：：可可用用质质心心运运动动定定理理求求约约束束反反力力因因此此，，需需求求出出质质心心的的加加速速度度质质心心作作圆圆周周运运动动，，故有切向与法向加速度，先求故有切向与法向加速度，先求 、、a a1）求）求 由动能定理由动能定理 （（2）求）求a a由转动微分方程由转动微分方程解得解得（（3 3）由质心运动定理求）由质心运动定理求F Fx x、、F Fy y质心加速度质心加速度应用质心运动定理应用质心运动定理将质心加速度代入将质心加速度代入例例11-23：：已已知知AB＝＝l、、质质量量为为m，，B端端放放在在光光滑滑水水平平面面上上，，开开始始时时杆杆静静立立于于铅铅直直位位置置，，受受扰扰动动后后，，杆杆倒倒下下求求：：杆杆运运动动到到与与铅铅直位置线成直位置线成 角时，杆的角速度、角加速度和地面反力角时，杆的角速度、角加速度和地面反力 解解：： 受力分析受力分析mg由受力图可知：由受力图可知： 常数＝常数＝0，，因此，因此，xc＝＝常数，且常数，且（（1）求）求 、、a a：：由动能定理由动能定理 I为瞬心，则为瞬心，则代入方程：代入方程： (1)由质心运动定理由质心运动定理 杆作平面运动杆作平面运动, ,求质心的加速度：求质心的加速度： C（（2）求反力）求反力 对对(1)(1)式求导：式求导： (1)本章结束。