新高考艺体生百日冲刺专题06空间几何体的面积与体积（解析版）.pdf

高考专题 06 空间几何体的面积与体积一、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2 rhVSh r2h圆锥S侧 rlV13Sh13 r2h13 r2l2 r2圆台S侧 ( r1r2)lV13(S上S下S上S下)h13( r21r22r1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧12ChV13Sh正棱台S侧12(CC)hV13(S上S下S上S下)h球S球面4 R2V43 R3二、注意点(1) 在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 . (2) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法. 在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积. (3)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(4)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(5)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识 .方法与技巧1. 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 旋转体要抓住 “旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状. 2. 要注意将空间问题转化为平面问题. 3. 求几何体的体积，要注意分割与补形. 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 4. 一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决. 例 1、 (2018 扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为23的扇形，则此圆锥的体积为_【答案】 .2 23【解析】：设圆锥的底面半径为r，高为 h，母线为l，则由1223l23，得 l3，又由23l2r，得 r1，从而有hl2r222，所以 V13r2 h223.变式 1、(2017 无锡期末）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120 且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于 _【答案】2 23【解析】设圆锥的底面半径为r，高为 h，母线长为l.则2 r l23，3 122 rl，解得r1，l3，故 hl2 r222，所以圆锥的体积V13 r2h13 1222223.解后反思解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系变式 2、(2019 镇江期末）已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_【答案】 .33【解析】 思路分析先求出圆锥的底面半径和高设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则r2，rl2，解得r1，l2.所以 h3.圆锥的体积V13Sh33.例 2、(2019 南京学情调研）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中， AB 2，AA1 3，则四棱锥A1B1C1CB 的体积是 _【答案】 2 3【解析】 如图，取 B1C1的中点 E，连结 A1E，易证 A1E平面 BB1C1C，所以 A1E 为四棱锥 A1B1C1CB 的高，所以 V 四棱锥 A1B1C1CB 13S矩形 BB1C1CA1E13(23)3 2 3.变式 1、(2016 南京、盐城、连云港、徐州二模）如图， 正三棱柱ABCA1B1C1中， AB4，AA16.若 E，F分别是棱BB1，CC1上的点 ，则三棱锥AA1EF 的体积是 _【答案】 . 83【解析】因为在正三棱柱ABCA1B1C1中 ，AA1 BB1， AA1? 平面 AA1C1C，BB1?平面 AA1C1C，所以 BB1平面 AA1C1C， 从而点 E 到平面 AA1C1C 的距离就是点B 到平面 AA1C1C 的距离 ， 作 BHAC， 垂足为点H，由于 ABC 是正三角形且边长为4，所以 BH23， 从而三棱锥AA1EF 的体积VAA1EFVEA1AF13S A1AF BH1312642 38 3.解题反思一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解变式 2、(2019 南京、盐城一模）如图，PA平面 ABC ，AC BC， PA4，AC3，BC1， E，F 分别为 AB， PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为 _【答案】 .36【解析】：VBEFCVFBEC12VPBEC12(13 SBECPA)121334436.变式 3、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱111ABCA BC中，已知13ABAA，点P在棱1CC上，则三棱锥1PABA的体积为 【答案】439【解析】： 因为正三棱柱111CBAABC中，11/CCAA，因为BBAAAA111面，BBAACC111面，所以BBAACC111/面，因为点P在棱1CC上，所以点C到平面BBAA11的距离就是点P到平面BBAA11的距离作ABCD，垂直为点D，因为正三棱柱111CBAABC中，1AA面ABC，CD面ABC，所以1AACD，而BBAAAB11面，BBAAAA111面，11AAAAB，所以BBAACD11面因为正三棱柱111CBAABC中，31AAAB，所以233CD，1ABA的面积293321S，所以三棱锥1ABAP的体积439233293131CDSV例 3、 (2019 苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_【答案】 . 23【解析】：正三棱锥的底面正三角形的边长为a23，面积 S34a233，高 h2.所以正三椎锥的体积V13Sh23.变式 1、(2019 苏州三市、 苏北四市二调） 设 P，A，B，C 为球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA2 m，PB3 m，PC4 m，则球 O 的表面积为 _m2.ABCPA1B1C1(第 10 题)【答案】29【解析】：根据题意，可知三棱锥PABC 是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C 四点的球，因为PA2，PB3，PC4，所以长方体的体对角线的长为PA2PB2PC229，即外接球的直径2R29，可得 R292，因此外接球的表面积为S4R24292229，变式 2、(2018 无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB 3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】 . 50【解析】：根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B1ABC 的外接球，也就是以BA ，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则 2RBA2 BC2BB21324252，得 R522，故该球的表面积为 S 4R2 50.1、(2019 扬州期末）底面半径为1，母线长为3 的圆锥的体积是_【答案】223【解析】圆锥的高为h32122 2，圆锥的体积V13122 2223.2、(2019 宿迁期末） 设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为_ cm3.【答案】33【解析】圆锥的底面半径R1，高 h22123，故圆锥的体积为V1312333.3、(2019 泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点 M 为棱 AA1的中点，记三棱锥A1MBC 的体积V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为V2，则V1V2的值是 _【答案】 .14【解析】：解法 1(割补法 )设 ABC 的面积为S，三棱柱的高为h，则 V1VA1ABC VMABC13Sh13S12h16Sh，V2VABCA1B1C1 VA1ABC Sh13Sh23Sh，所以V1V2Sh632Sh14.解法 2(等积转换 )V1VBA1MC12VBA1AC12VA1ABC ， V22VA1BC1B12VBA1B1C1 2VA1ABC ，所以V1V214.4、(2018 常州期末）已知圆锥的高为6， 体积为 8. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_【答案】 . 3【解析】：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V113r21h1；大圆锥的高为h6，底面半径为 r，体积为V13r2h8.依题意有r1rh1h，V11，V1V13r21h113r2hh1h318，得 h112h3，所以圆台的高为 h h1 3.5、(2018 苏锡常镇调研）在棱长为 2 的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且2PDDN，则三棱锥DMBC的体积为【答案】29【解析】：思路分析： 解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程： 连结MB，MC，MN，过点D作MNDH于H，因为BPBA，M为 PA 的中点，所以BMPA，同理CMPA，又因为MCMBM，所以MBCPA面，又因为MBCMN面，所以MNPA，又因为MNDH，所以PADH /，从而MBCDH面，故DH为点D到平面MBC的高 .在MBC中，MCMB，N为BC 的中点，则222NBMBMN，MBC的面积2222121MNBCS， 在NPM中， 因为PMDH /，2PDDN，所以3131PMDH，从而三棱锥DMBC的体积923123131DHSVMBCMBCD6、(2017 南京三模）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB1，BC 2，BB13， ABC 90 ，点 D 为侧棱 BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为【答案】13【解析】： 将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：11ADDCAC，当且仅当1,A D C三点共线取到.此时1BD，所以1122ABDSABBDV.在直三棱柱ABC A1B1C1中有1BBCB， 又ABCB， 易得CB平面ABD， 所以11C B平面ABD， 即11C B是三棱锥1CABD的高，所以1111111123323DABCCABDABDVVC BSV7、(2019 苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形ABCD中， ABCD，AB BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为cm3【答案】73【解析】：所求几何体的体积为17+=1233VVV圆锥圆柱ACBA1B1C1D8、 （ 2016 无锡期末）如图 ，在圆锥 VO 中，O 为底面圆心 ，半径 OAOB，且 OAVO1，则 O 到平面VAB 的距离为 _【答案】33【解析】 思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算解法 1 因为 VO平面 AOB，OA? 平面 AOB，所以 VOOA，同理 VOOB，又因为 OAOB，OAVOOB1，所以 VA VBAB2，所以 SVAB12VA ABsin60 32.设 O 到平面VAB 的距离为h，由VVAOBVOVAB，得13SAOBVO13SVABh，得12OAOBVO32h，解得 h33.解法 2 取 AB 中点 M，连结 VM，过点 O 作 OHVM 于 H.因为 OA OB，M 是 AB 中点 ，所以 OMAB，因为 VO平面 AOB，AB? 平面 AOB，所以 VOAB， 又因为 OMAB，VOOMO，所以 AB平面 VOM，又因为 AB? 平面 VAB，所以面 VAB平面 VOM，又因为 OHVM，OH? 平面 VOM，平面 VAB平面 VOM VH，所以 OH平面 VAB，所以 OH 为点 O 。