2017-2018学年高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换教学案苏教版选修4-2.doc

苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案12 2．．2.42.4 旋转变换旋转变换[对应学生用书 P14] 1．旋转变换将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换．其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．[cos θ －sin θ sin θ cos θ]旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书 P14]点在旋转变换作用下的象[例 1] 在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转 135°的变换称为旋转角是 135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵；(2)求点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象A′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解．[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：Error!，该变换对应的矩阵为：＝.[cos 135° －sin 135° sin 135° cos 135°][－22－22 22－22](2)由(1)知，当x＝4，y＝8 时，x′＝－6，y′＝－2，22所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为A′(－6，－2)．22苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案2由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵是解决这类问题的关[cos θ －sin θ sin θ cos θ]键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC分别在M M1＝，M M2＝，M M3＝对应的变换作用[－1 0 0 －1][0 －1 1 0][22－22 2222]下的图形这里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)．解析：在M M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)．在M M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．在M M3下，A→A(0,0)，B→B(，)，C→C(0，)．222图形分别为2．在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转 60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A(－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为＝，[cos－60° －sin－60° sin－60° cos－60°][1 2 32－3212]苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案3故对应的坐标变换公式为Error!.令x＝－1，y＝0 得Error!.所以所求的点A′的坐标为.(－1 2，32)曲线在旋转变换作用下的象[例 2] 已知曲线C：x2＋y2＝2，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转 60°后，求得到的曲线C′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程．[精解详析] 旋转变换对应的矩阵M M＝＝，[cos 60° －sin 60° sin 60° cos 60°][1 2 －32 3212]设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M M对应的变换作用下变为P′(x，y′ 0)．′ 0则有 ＝，[1 2 －32 3212][x0 y0] [x′ 0 y′ 0]故Error!因为点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝2 上，所以x＋y＝2，2 02 0即 2＋2＝2，[1 2x′ 0 ＋ 3y′ 0 ][1 2y′ 0 － 3x′ 0 ]∴x′＋y′＝2.2 02 0从而曲线C′的方程为x2＋y2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案43．将双曲线C：x2－y2＝1 上的点绕原点逆时针旋转 45°，得到新图形C′，试求C′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵M M＝＝，[cos 45° －sin 45° sin 45° cos 45°][22－22 2222]任意选取双曲线x2－y2＝1 上的一点P(x0，y0)，它在变换作用下变为P′(x，y)，则有Error!那么Error!又因为点P在曲线x2－y2＝1 上，所以x－y＝1，2 02 0即有 (x＋y)2－ (y－x)2＝1，1 21 2整理可得 2xy＝1，所以所求C′的方程为xy＝ .1 24．已知椭圆Γ：＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转 90°后所得到的曲线，画x2 4y2 3出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如图33所示)．因为绕原点逆时针旋转 90°的变换所对应的矩阵为M M＝＝.[cos 90° －sin 90° sin 90° cos 90°] [0 －1 1 0]所以 ＝，[0 －1 1 0] [－2 0] [0 －2]＝，[0 －1 1 0][0 － 3] [3 0]苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案5＝， ＝.[0 －1 1 0] [2 0] [0 2] [0 －1 1 0][0 3] [－ 3 0]故点A，B，C，D在旋转变换M M的作用下分别变为点A′(0，－2)，B′(，0)，3C′(0,2)，D′(－，0)，从而椭圆曲线Γ：＋＝1 在逆时针旋转 90°后所成的曲线3x2 4y2 3为椭圆曲线Γ ′：＋＝1.x2 3y2 4[对应学生用书P15]1．若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求(22，22)[cos α －sin α sin α cos α]α.解：由 ＝，[cos α －sin α sin α cos α][22 22][1 0]得Error!∴Error!∴Error!(k∈Z Z)∴Error!(k∈Z Z)∴α＝－＋2kπ(k∈Z Z)．π 42．设点P的坐标为(1，－2)，T是绕原点逆时针旋转的旋转变换，求旋转变换T对π 3应的矩阵A A，并求点P在旋转变换T作用下得到的点P′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵A A＝＝[cosπ3－sinπ3sinπ3cosπ3][1 2 －32 3212]设P′(x′，y′)，则 ＝[1 2 －32 3212][1 －2] [x′ y′]苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案6∴Error!即P′.(1 2＋ 3，32－1)3．已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针方向旋转 45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M M＝＝.[cos 45° －sin 45° sin 45° cos 45°][22－22 2222]由＝ ＝，[x′ y′][22－22 2222][x y][22x－22y22x＋22y]得Error!解得Error!代入xy＝1，得曲线C′的方程为y2－x2＝2.(2)由(1)知曲线C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y＝±x.4．求直线y＝x绕原点逆时针旋转后所得的直线的方程．3π 6解：直线y＝x的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后所得的直线的倾斜角为，故3π 3π 6π 2所求的直线方程为x＝0.5．将抛物线E：y2＝4x绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线E′.求曲线E′的焦点坐标和准线方程．解：已知抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程l：x＝－1.旋转变换对应的矩阵为.[1 2 －32 3212]设点P(x，y)为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P′(x′，y′)，∴Error!(1)将x＝1，y＝0 代入(1)式得Error!由(1)消去y，并将x＝－1 代入，得x′＋y′＝－2.3∴曲线E′仍为抛物线，它的焦点坐标F′，准线方程l′：x＋y＋2＝0.(1 2，32)3苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案76．已知椭圆＋＝1 经过矩阵M M对应的变换作用下变为椭圆＋＝1，求变换矩x2 4y2 3x2 3y2 4阵M M.解：将椭圆＋＝1 变换为椭圆＋＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于x2 4y2 3x2 3y2 4原点成中心反射或关于直线y＝x与y＝－x成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M M可以是或或或[0 1 1 0] [0 －1 1 0] [0 －1 －1 0]等．[0 1 －1 0]7．已知椭圆C：x2＋y2＋xy＝3，将曲线C绕原点O顺时针旋转，得到椭圆C′.求：π 4(1)椭圆C′的标准方程；(2)椭圆C的焦点坐标．解：(1)矩阵A A＝，[2222－2222]设椭圆C上的点P(x，y)变换后为P′(x′，y′)，则 ＝，[2222－2222][x y] [x′ y′]故Error!代入x2＋y2＋xy＝3 中，得 (x′－y′)2＋ (x′＋y′)2＋ (x′2－y′2)＝3.1 21 21 2∴椭圆C′的方程为＋＝1.x2 2y2 6(2)∵椭圆C′的焦点坐标为(0，±2)，∴椭圆C的焦点坐标为F1(－，)，F2(，－)．22228．已知点A(3,4)，点A绕原点逆时针旋转 60°后得到的对应点为B，求点B的坐标，并求出线段OA旋转过程中所扫描过的图形的面积．解：由题意可得旋转变换矩阵为苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案8M M＝＝，[cos 60° －sin 60° sin 60° cos 60°][1 2 －32 3212]对应的坐标变换公式为Error!可得Error!即点B的坐标为，(3－4 32，3 3＋42)由于线段OA旋转过程中所扫描过的图形是半径为OA，圆心角为的扇形，π 3而OA＝＝5，32＋42所以相应的面积为S＝ ××52＝π.1 2π 325 6。