2018版高中数学人教b版必修二学案1.1.7柱锥、台和球的体积.doc

11.1.7 柱、锥、台和球的体积柱、锥、台和球的体积[学习目标] 1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.[知识链接]1.长宽高分别为 a、b、c 的长方体的表面积 S＝2(ab＋bc＋ac)，体积 V＝abc.2.棱长为 a 的正方体的表面积 S＝6a2，体积 V＝a3.3.底面半径为 r，母线长为 l 的圆柱侧面积 S侧＝2πrl，表面积 S＝2πrl＋2πr2.4.底面半径为 r，母线长为 l 的圆锥侧面积 S侧＝πrl，表面积 S＝πr2＋πrl.[预习导引]1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异” ，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.2.柱、锥、台、球的体积其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径.名称体积(V)棱柱Sh柱体圆柱πr2h棱锥 Sh13锥体圆锥 πr2h13棱台 h(S＋＋S′)13SS′台体圆台 πh(r2＋rr′＋r′2)132球 πR343要点一 柱体的体积例 1 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－2π B.8－πC.8－ D.8－π2π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体，14如图，几何体的高为 2，V＝23－ ×π×12×2×2＝8－π.14规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪演练 1 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.3答案 4解析 此几何体是两个长方体的组合，故 V＝2×1×1＋1×1×2＝4.要点二 锥体的体积例 2 如图三棱台 ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥 A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥 C－A1B1C1的体积之比.解 设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝ S△ABC·h＝ Sh，1313VC－A1B1C1＝ S△A1B1C1·h＝ Sh.1343又 V台＝ h(S＋4S＋2S)＝ Sh，1373∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝ Sh－－＝ Sh，73Sh34Sh323∴体积比为 1∶2∶4.规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.跟踪演练 2 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，求 A 到平面 A1BD 的距离 d.解 在三棱锥 A1－ABD 中，由题意知 AA1为三棱锥的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，24∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴ × a2·a＝ × ×a×·a·d.131213122322∴d＝a.33要点三 台体的体积例 3 已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm，侧面积是 780 cm2.求正四棱台的体积.解 如图所示，正四棱台 ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1的中点E1，AB 的中点 E，则 E1E 是侧面 ABB1A1的高.设 O1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形 EOO1E1是直角梯形，由 S侧＝4× (10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13.12在直角梯形 EOO1E1中，O1E1＝ A1B1＝5，12OE＝ AB＝10，12∴O1O＝＝12，E1E2－(OE－O1E1)2V正四棱台＝ ×12×(102＋202＋10×20)13＝2 800(cm3).故正四棱台的体积为 2 800 cm3.规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.跟踪演练 3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，侧棱长为 2 cm，求该棱台的体积.”解 如图，正四棱台 ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，则 O1B1＝cm，25OB＝2cm，2过点 B1作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1中，BB1＝2 cm，MB＝(2－)＝(cm).222根据勾股定理MB1＝BB2 1－MB2＝＝(cm).22－(\r(2))22S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝ ××(4＋＋16)1324 × 16＝ ××28＝ (cm3).1322832要点四 球的体积例 4 过球面上三点 A，B，C 的截面到球心 O 的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积.解 如图，设过 A、B、C 三点的截面为圆 O′，连接 OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3 cm，∴O′为正三角形 ABC 的中心，∴AO′＝AB＝(cm).333设 OA＝R，则 OO′＝ R，12∵OO′⊥截面 ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝R＝(cm)，∴R＝2 cm，323∴V球＝ πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2).43323即球的体积为π cm3，表面积为 16π cm2.323规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.6跟踪演练 4 如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A.1 倍 B.2 倍C.3 倍 D.4 倍答案 C解析 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为 x,2x,3x，则最大球的半径为 3x，其体积为 π×(3x)3，其余两个球的体积之和为 πx3＋ π×(2x)3，434343∴ π×(3x)3÷＝3.43[43πx3＋43π × (2x)3]1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3，对角线的长是 2，则这个长方14体的体积是( )A.6 B.12C.24 D.48答案 D解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 x、2x、3x，又对角线长为 2，则14x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得 x＝2.∴三条棱长分别为 2、4、6.14∴V长方体＝2×4×6＝48.2.一个球的表面积是 16π，则它的体积是( )A.64π B.64π3C.32π D.π323答案 D解析 设球的半径为 R，则由题意可知 4πR2＝16π，故 R＝2.所以球的半径为 2，体积V＝ πR3＝π.433233.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，那么圆柱的体积等于( )A.π B.2πC.4π D.8π答案 B解析 设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的母线长为 2r，由题意得 S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，7所以 r＝1，所以 V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.4.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则三棱锥 D1ACD 的体积是( )A. B.1613C. D.112答案 A解析 三棱锥 D1ADC 的体积 V＝ S△ADC×D1D＝ × ×AD×DC×D1D＝ × ＝ .1313121312165.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2，高为 4，故体积为 16π；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为 16，故题中几何体的体积为 16π－16.1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.。