2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.1.2椭圆的几何性质（二）.docx

2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案12．．1.2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质(二二)[学习目标] 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．[知识链接]已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δb>0)的位置关系：x2a2y2b2点 P 在椭圆上⇔＋＝1；x2 0a2y2 0b2点 P 在椭圆内⇔＋1.x2 0a2y2 0b22．直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立Error!x2a2y2b2消 y 得到一个关于 x 的一元二次方程，再依据下表判断．位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δb>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y2a2x2b22017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案2则|AB|＝，x1－x22＋y1－y22∴|AB|＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2 x1－x22＝，1＋k2 x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1ky1－1ky22＋y1－y22＝1＋1k2 y1－y22＝.1＋1k2 y1＋y22－4y1y2其中，x1＋x2，x1x2或 y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得到的关于 x(或 y)的一元二次方程求得．要点一 直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆＋＝1 上求一点 P，使它到直线 l：3x－2y－16＝0 的距离最短，并求出最x24y27短距离．解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y＝ x＋m，32代入＋＝1，x24y27并整理得 4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为 y＝ x＋4 和 y＝ x－4，3232由图可知 y＝ x－4 距 l 最近，故最短距离 d＝＝，32|－16＋8|32＋－22813P 点为切点，即 P.(32，－74)规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案3问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δb>0)经过点(0，)，离心率为 ，左、右焦点分别为 F1(－c,0)，x2a2y2b2312F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案4(2)若直线 l：y＝－ x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C，D 两点，12且满足＝，求直线 l 的方程．|AB||CD|5 34解 (1)由题设知Error!解得Error!∴椭圆的方程为＋＝1.x24y23(2)由题设，以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1，∴圆心到直线 l 的距离 d＝，2|m|5由 d0.x1＋x2216k2－8k1＋4k212这时直线的方程为 y－2＝－ (x－4)，12即 x＋2y－8＝0.方法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Error!两式相减得＋＝0，x2 2－x2 136y2 2－y2 19整理得 kAB＝＝－，y2－y1x2－x19x2＋x136y2＋y1由于 P(4,2)是 AB 的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是 kAB＝－＝－ ，9 × 836 × 412于是直线 AB 的方程为 y－2＝－ (x－4)，12即 x＋2y－8＝0.要点三 椭圆中的最值(或范围)问题2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案6例 3 已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由Error! 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以 Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.5252(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝ (m2－1)，2m515所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝＝2x1－x222[x1＋x22－4x1x2]＝＝.2[4m225－45m2－1]25 10－8m2∴当 m＝0 时，|AB|最大，此时直线方程为 y＝x.规律方法 解析几何中的综合性问题很多．而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪演练 3 如图，点 A 是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点x2a2y2b2A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BP∥x 轴，·＝9.AB→AP→(1)若点 P 的坐标为(0,1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围．解 ∵直线 AB 的斜率为 1，∴∠BAP＝45°，即△BAP 是等腰直角三角形，||＝||.AB→2AP→∵·＝9，AB→AP→∴||||cos45°＝||2cos45°＝9，∴||＝3.AB→AP→2AP→AP→2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案7(1)∵P(0,1)，∴||＝1，||＝2，即 b＝2，且 B(3,1)．OP→OA→∵B 在椭圆上，∴＋ ＝1，得 a2＝12，9a214∴椭圆 C 的标准方程为＋＝1.x212y24(2)由点 P 的坐标为(0，t)及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即 b＝3－t.显然点 B 的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：＋＝1，解得 a2＝.9a2t23－t233－t23－2t∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.33－t23－2t∴>1，即－1＝>0，33－2t33－2t2t3－2t∴所求 t 的取值范围是 0b>0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大x2a2y2b2值为( )A．b2B．abC．acD．bc答案 D解析 当直线 AB 为 y 轴时面积最大，|AB|＝2b，△AFB 的高为 c，∴此时 S△AFB＝ ·2b·c＝bc.122．直线 y＝x＋2 与椭圆＋＝1 有两个公共点，则 m 的取值范围是( )x2my23A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)答案 B解析 由Error!⇒(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ>0，即 16m2－4m(m＋3)>0，∴m>1 或 m0，∴m>1 且 m≠3.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 1-1 学案83．若椭圆＋＝1 的离心率为 ，则 k 的值为( )x2k＋8y2923A.B．－3415C.或－3D．－3 或415413答案 C解析 若焦点在 x 轴上，则＝1－2＝ ，9k＋8(23)59∴k＝；若焦点在 y 轴上，则＝ ，∴k＝－3，故选 C.415k＋89594．椭圆＋＝1 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上．如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那x212y23么点 M 的纵坐标是( )A．±B．±3432C．±D．±2234答案 A解析 由条件可得 F1(－3,0)，PF1的中点在 y 轴上，∴P 坐标(3，y0)，又 P 在＋＝1 的椭圆上得 y0＝±，∴M 的坐标(0，±)，故选 A.x212y233234解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系求出 x1＋x2，x1·x2或 y1＋y2，y1·y2；(5)把待求量用 x1＋x2，x1·x2或 y1＋y2，y1·y2表示出，进而求解．。