初学者看的固体能带理论
39页1、1,2,前言,第 八 章 晶体的能带结构,从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图,物理学前言之一,材料的性质,大规模集成电路,半导体激光器,超导,人工微结构,3,8.1 晶体的能带,一. 电子共有化,晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。,电子受到周期性势场的作用。,按量子力学须解定态薛定格方程。,4,解定态薛定格方程(略), 可以得出两点重要结论:,1.电子的能量是分立的能级;,2.电子的运动有隧道效应。,原子的外层电子(高能级), 势垒穿透概率 较大, 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。,原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。,5,二. 能带 (energy band),量子力学计算表明,晶体中若有N个 原子,由于各原子间的相互作用,对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了N条靠得很近的能级,称为能带。,晶体中的电子能级 有什么特点?,6,能带的宽度记作E ,数量级为 EeV。,若N1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。,一般规律:,1. 越是外层电子,能带越宽,E越大。,2. 点阵间距越小,能带越宽,E越大。,3.
2、两个能带有可能重叠。,7,离子间距,a,2P,2S,1S,E,0,能带重叠示意图,8,三 . 能带中电子的排布,晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。,排布原则:,1. 服从泡里不相容原理(费米子),2. 服从能量最小原理,设孤立原子的一个能级 Enl ,它最多能容纳 2 (2 +1)个电子。,这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后, 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。,9,电子排布时,应从最低的能级排起。,有关能带被占据情况的几个名词:,1满带(排满电子),2价带(能带中一部分能级排满电子) 亦称导带,3空带(未排电子) 亦称导带,4禁带(不能排电子),2、3能带,最多容纳 6N个电子。,例如,1、2能带,最多容纳 2N个电子。,2N(2l+1),10,一. 布洛赫定理,一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点?,在量子力学建立以后,布洛赫(F.Bloch) 和布里渊(Brillouin)等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。,布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。,8.2(补充) 布洛赫
3、定理 空间,11,在一维情形下,周期场中运动的电子能量E(k) 和波函数 必须满足定态薛定谔方程,k -表示电子状态的角波数 V( x ) -周期性的势能函数,它满足 V( x ) = V( x + n a ) a - 晶格常数 n -任意整数,12,布洛赫定理:,式中 也是以a为周期的周期函数,即 *,注*:关于布洛赫定理的证明,有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著 韩汝琦改编 (1988)P154,具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。,满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式,13,布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为:一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。, 只有在 等于常数时,在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。, 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。, 因此,布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。, 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。,14,实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。,设一维晶体的原子数为N,它
4、的线度为 L=Na,则布洛赫波函数 应满足如下条件,此式称为周期性边界条件。,二 . 周期性边界条件,采用周期性边界条件以后,具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环:,在固体问题中,为了既考虑 到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限 的,我们经常合理地采用周期性边界条件:,15,由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。,周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。,图 2 周期性边界条件示意图,16,左边为,右边为,所以,由周期性边界条件,即周期性边界条件使 k 只能取分立值:,证明如下:,按照布洛赫定理:,17,k 是代表电子状态的角波数, n 是代表电子状态的量子数。,对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数(kx、 ky、 kz)。,一个 对应电子的一个状态。,18,在 空间中,电子的每个状态可以用 一个状态点来表示,这个点的坐标是,三. 空间,19,上式告诉我们,沿 空间的每个坐标轴方向, 电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。,图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。,因此,
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