【8A版】四年级下数学思维训练教程（尖子生）

1、【MeiWei_81重点借鉴文档】四年级下期第一讲定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。例1设a、b都表示数，规定ab3a2b。(1) 求43，34。(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(176)2，17(62)。(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5b1，求b。解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3a和2b的值，再求出3a与2b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：(1)4334231266。343324981。(2)由(1)可知，43与34的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。(3)(176)2(31726)2(5112)2392339221174113。17(62)17(3622)17(184)1714317214512823。(4)由(3)可知，(176)2与17(62)的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。(5)因为5b352b152b，

2、而152b1，所以2b151，2b14，b7。通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。例2如果ab2a3b，aRb(ab)2，那么(3R5)7？解：“”的意义是先求出2a和3b，再求出2a与3b的和。“R”的意义显然是求a、b的平均数。因为3R5(35)24，所以，(3R5)747243729。例3规定：aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示自然数。(1)求1100的值；(2)已知R1075，求R。解：(1)a(a1)(a2)(ab1)1(11)(12)(11001)123100(1100)100210110025050。(2)R(R1)(R2)(R101)7510R(129)7510R457510R754510R30R3010R3例4羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼狼；狼羊狼；狼狼狼。以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友总是希

3、望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：羊(狼羊)羊(狼狼)。解：羊(狼羊)羊(狼狼)羊羊羊狼羊羊狼羊狼狼练习一1设a、b都表示数，规定：ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab4a3b。试计算：(1)56；65。2a、b是自然数，规定aba5b3，求89。3设ab8a18b，求79？4规定ab(a3)(b5)，求5(67)的值。5设ababab，试求58。6如果规定ab13ab8，那么1724的最后结果是多少？7设a、b都表示数，规定：ab2ab2。求(1)106；(2)7(48)。8规定ABBBA，计算(23)(45)。9如果规定ab4a3b1，那么57和75相等吗？10对于两个数R、R，RR表示RAR2，并且已知826531。计算：(1)2957；(2)38(1423)。11如果34345618

4、，6567891040。计算20RR6。12如果“、()”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？(1)878；(2)7776；(3)(783)939；(4)333。第二讲图形问题(一)例1有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差1644(厘米)，所以图中正方形B的面积是4416(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(8016)232(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是3248(厘米)，面积是8864(平方厘米)。AB例2下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。解法一：图形的总面积是40401600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20202200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是16002004800(平方厘米)。解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以

5、，阴影部分的面积是40402800(平方厘米)。例3如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是10002500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是2402430(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图这个新正方形的面积是3030900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900500)2200(平方厘米)。例4如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少？ABDC解：如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a1，左上角正方形的边长就是a11，右上角正方形的边长就是a111。因为CDAB，所以aa(a1)(a11)(a111)，即3a12a5，于是a4。从而，CDaa(a1)13，AD(a1)(a11)11。因此，矩形ABCD的面积是1311143。练习二1已知甲是正方形，乙

6、是长方形，图形的周长是多少厘米？甲3乙1582把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？3一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？4下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？AB5一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？7如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？8有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。2239如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？19574510将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二

7、个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？12如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？第三讲枚举与计数例1数列A：1,2，3,4，5,6，7,8，9,10,11，。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1,2，3,4，5,6，7,8，9,1，0,1，1,1，2，。(1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？(3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？解：(1)数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第91803192个数。(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100991，而912461，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是94655，它的第一位（十位）数字是5。(3)数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3,13,23,30,31,32，33,，39,43,53，所以数字3共出现16次。答：(略)。例2个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？解：当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个；当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个；当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个；共有1234567836(个)。这些两位数的十位数字的和是8172635445362718120，个位数字的和是9887766554433221240，所以这些两位数的和是101202401440。答：个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。例3有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？

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