2018年浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题2 突破点4 等差数列、等比数列

1、专题二专题二 数数 列列 建知识网络 明内在联系 高考点拨 数列专题是浙江新高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算 及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结 合浙江新高考的命题研究，本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和及综合应用”两 条主线展开分析和预测 突破点突破点 4 4 等差数列、等比数列等差数列、等比数列 (对应学生用书第 16 页) 核心知识提炼 提炼 1 等差数列、等比数列的运算 (1)通项公式 等差数列：ana1(n1)d； 等比数列：ana1qn1. (2)求和公式 等差数列：Snna1d； na1an 2 nn1 2 等比数列：Sn(q1) a11qn 1q a1anq 1q (3)性质 若mnpq， 在等差数列中amanapaq； 在等比数列中amanapaq. 提炼 2 等差数列、等比数列的判定与证明 数列an是等差数列或等比数列的证明方法： (1)证明数列an是等差数列的两种基本方法 利用定义，证明an1an(nN N*)为同一常数； 利用中项性质，即证明 2anan1an1(n2) (2)证明a

2、n是等比数列的两种基本方法 利用定义，证明(nN N*)为同一常数； an1 an 利用等比中项，即证明aan1an1(n2). 2n 提炼 3 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法 (多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制 (2)利用数列的单调性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确 定数列单调性的变化，进而确定相应的最值 (3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组Error!若求数列 an的最小项，则可解不等式组Error!求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项 高考真题回访 回访 1 等差数列及其运算 1(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是 “S4S62S5”的( ) 【导学号：68334059】 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 C C 法一：数列an是公差为d的等差数列， S44a16d，S55a110d，S66a115d， S4S61

3、0a121d,2S510a120d. 若d0，则 21d20d,10a121d10a120d， 即S4S62S5. 若S4S62S5，则 10a121d10a120d，即 21d20d， d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件 故选 C. 法二：S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0，“d0”是 “S4S62S5”的充分必要条件 故选 C. 2(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等 比数列，则( ) Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40 B B a3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得 2 4 3a1d5d2，即 a1dd2.d0，a1dn2，故bn3n1n2，n3. 设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，10 分 当n3 时，Tn3，13 分 913n2 13 n7n2 2 3nn25n11 2 所以TnError!15 分 (对应学生用书第 17 页) 热点题型 1 等差、等比数列的基本运算 题型分析：以等差比数列为载体，考查

4、基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考 命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小. 【例 1】 (1)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a330，S4120，设bn1log3an，那 么数列bn的前 15 项和为( ) 【导学号：68334062】 A152B135 C80D16 (2)(2017台州市高三年级调考)已知数列an的前m(m4)项是公差为 2 的等差数列，从第 m1 项起，am1，am，am1，成公比为 2 的等比数列若a12，则m_，an 的前 6 项和S6_. (1 1)B B (2 2)4 4 2828 (1)设等比数列an的公比为q，由a1a330，a2a4S4(a1a3) 90，所以公比q3，首项a13，所以an3n，bn1log33n1n，则 a2a4 a1a3 30 1q2 数列bn是等差数列，前 15 项的和为135，故选 B. 15 216 2 (2)由题意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，则由2，解得 am am1 2m4 2m6 m4，所以数列an的前 6 项依次为2,0,2,4,8,16，所以S628. 方法指津 在等差比数列

5、问题中最基本的量是首项a1和公差d公比q，在解题时往往根据已知 条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解.这就是解 决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用. 提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围. 变式训练 1 (1)已知在数列an中，a11，an1an3，Sn为an的前n项和，若 Sn51，则n_. (2)已知an为等差数列，若a1a5a98，则|an|前 9 项的和S9_，cos(a3a7)的 值为_ (1 1)6 6 (2 2)24 (1)由a11，an1an3，得an1an3， 1 2 所以数列an是首项为 1，公差为 3 的等差数列 由Snn351，即(3n17)(n6)0， nn1 2 解得n6 或n(舍) 17 3 (2)由an为等差数列得a1a5a93a58，解得a5，所以an前 9 项的和S9 8 3 9a5924.cos(a3a7)cos 2a5cos cos . 9a1a9 2 8 3 16 3 4 3 1 2 热点题型 2 等差、等比数列的基本性质 题型分析：该热点常与数列中基本量的

6、运算综合考查，熟知等差比数列的基本性质，可以 大大提高解题效率. 【例 2】 (1)已知实数列an是等比数列，若a2a5a88，则 1 a1a5 4 a1a9 9 a5a9 ( ) 【导学号：68334063】 A有最大值 B有最小值 1 2 1 2 C有最大值D有最小值 5 2 5 2 (2)设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S150，S160，S16160，a90，d0，故Sn最大为S8.又d0，所以an单调递减，因为前 8 项中Sn递增，所 以Sn最大且an取最小正值时有最大值，即最大，故选 C. Sn an S8 a8 方法指津 1若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中 Sn n m，k为常数 2若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a， 2n 仍为等比数列 1 an 3公比不为 1 的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即 a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q. a3a2 a2a1 a2a1q a2a1 4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等

7、比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列， 其公比为qk. (2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d. 5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前 2n1 项的和，则. an bn A2n1 B2n1 变式训练 2 (1)在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则 a9a11a13a15( ) A1B2 C3D2 或 4 (2)已知公比q不为 1 的等比数列an的首项a1 ，前n项和为Sn，且 1 2 a2S2，a3S3，a4S4成等差数列，则q_，S6_. (1 1)C C (2 2) (1)an为等比数列，a5a7是a1a3与a9a11的等比中项， 1 1 2 2 6 63 3 6 64 4 (a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112. a5a72 a1a3 42 8 同理a9a11是a5a7与a13a15的等比中项， (a9a11)2(a5a7)(a13a15) 故a13a151. a9a112 a5a7 22 4 a9a11a13a15213. (2)由a2S2 q，a3S3 qq

8、2，a4S4 qq2q3成等差数列，得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 q qq2q3，化简得 2q23q10，q1，解得q ，所以S6 ( 1 2 1 2qq2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 . a11q6 1q ( 1 2) 63 64 热点题型 3 等差、等比数列的证明 题型分析：该热点常以数列的递推关系为载体，考查学生的推理论证能力. 【例 3】 已知数列an的前n项和Sn1an，其中0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5，求. 【导学号：68334064】 31 32 解 (1)证明：由题意得a1S11a1， 故1，a1，故a10.1 分 1 1 由Sn1an，Sn11an1得an1an1an， 即an1(1)an.2 分 由a10，0 得an0，所以.3 分 an1 an 1 因此an是首项为，公比为的等比数列，4 分 1 1 1 于是an n1. 6 分 1 1( 1) (2)由(1)得Sn1 n. 8 分 ( 1) 由S5得 1 5 ， 31 32 ( 1) 31 32 即 5 .13 分 ( 1) 1 32 解得1.15 分 方法指津 判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用 等差中项、等比中项进行判断. 提醒：利用aan1an1n2来证明数列an为等比数列时，要注意数列中的各项均不为 2n 0. 变式训练 3 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常 数 (1)证明：an2an； (2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由 解 (1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11， 两式相减得an1(an2an)an1，2 分 由于an10，所以

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