第一类 曲线 积分
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1、,第十章,曲线积分 与曲面积分,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,曲线积分,曲面积分,第一类曲线积分,第二类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲面积分,第一类曲线积分,第一节,第十章,一、第一类曲线积分的概念与性质,二、第一类曲线积分的计算法,一、第一类曲线积分的概念与性质,1. 问题的提出,曲线形构件的质量,设有一位于 xOy 平面上的曲线形状的构件(如图)，,求构件的质量.,采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量:,构件分布是非均匀的，其线密度为,1 分割,2 近似,3 求和,4 取极限,在小弧段,该弧段 的质量可近似表示为,整个构件质量的近似值,构件的质量,设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L,2. 定义 10.1,上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为,则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线L上的第一类,被积函数,积分弧段,积分和式,弧微分,被积表达式,曲线积分或对弧长的曲线积分，记作,注,1 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分,2 曲线形
2、构件的质量可以表示为,存在(充分条件).,3,4,5,6,7,1 若积分弧段为空间曲线弧,3 如果L 是闭曲线 , 则记为,推广,则函数,f ( x, y, z )在曲线弧,上对弧长的曲线积分为,2 对空间曲线弧 有与平面曲线弧类似的重心公式和转动惯量公式.,思考：,定积分,对弧长的曲线积分,但定积分中dx 可能为负.,否！,是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,要求 ds 0,3. 性质,1 线性性质：,2 可加性：,3 保序性：,基本思路:,计算定积分,定理10.1,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,二、第一类曲线积分的计算法,1. 直接法,点,将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为,对应参数为,证,根据定义,因此,则,注,因此积分限必须满足下限小于上限：,2 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,1,则,2 如果L为极坐标形式,则,1 如果曲线 L 的方程为,推广,3 设空间曲线弧的参数方程为,其中 L 是抛物线,点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解,上点,例1 计算,计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它,的
3、对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解 建立坐标系如图,则,例2,计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解,线,例3,2. 利用对称性,例4,解,由轮换对称性, 知,解,例5,将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算,点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程,例6,解,曲面对称于,截取的柱面面积A是第一卦限,部分面积,圆柱面的准线L的参数方程：,柱面面积,1. 定义,2. 性质,内容小结,3. 计算, 对参数方程形式, 对显函数形式, 对极坐标形式,1.例5中 改为,如何计算,解 令, 则,思考题,2. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,解 分段积分,备用题 例1-1,L是以A(1,0), B(0,1), C(-1,0),为顶点的三角形的边界.,解,解,例1-2,有一半圆弧,其线密度,解,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,例2-1,解,例3-1,计算,其中为球面,解,化为参数方程,则,例3-2,例3-3,其中L是：,曲线L的参数方程是：,解,L为球面,坐标面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个,解 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,例5-1,例5-2,解,例6-1,解 柱面的准线L的参数方程是：,
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