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文科高等数学第七讲课件

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1、文科高等数学,,第七讲不定积分,数学教研室：刘淑环,微分的逆运算,不定积分-逆向思维又一例,一、不定积分的概念,二、基本积分公式,三、线性运算法则,四、不定积分计算方法,五、用MATLAB求不定积分,2. 变速直线运动的瞬时速度,1. 切线的斜率,一、不定积分的概念,变中有不变,已知曲线的切线如何求曲线、已知运动速度如何求路程？,由导数(或微分)求原来函数的运算是一种逆向思维过程.,已知曲线求切线、已知位移求速度-导数.,逆向思维,量天何必苦登高, 借问银河落九宵. 直下凡尘几万里, 几公里处宴蟠桃,原函数有道是,量天何必苦登高, 借问银河落九宵. 直下凡尘几万里, 几公里处宴蟠桃.,原函数的概念,分段函数,导数与原函数的概念转化,一个函数的原函数是不是只有一个呢？,什么样的函数存在着原函数呢？,原函数个数的观察与分析,这就是说,连续函数一定有原函数.,如果函数 f (x)在区间I上连续，则 f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) .,此定理也叫原函数存在定理 .,初等函数在其有定义的区间上存在原函数.,原函数存在定理,以下的例子中为任意常数,原函数有多少？,原函数表示,导

2、数为零的函数为常数函数,证,（为任意常数）,同一函数的原函数不唯一，有无穷多个.,设G(x)也是 f (x) 一个原函数，,同一函数的原函数有无穷多个,那么如何表示这种求原函数的运算？,不定积分,不定积分概念,不定积分的定义,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,不定积分与微分互逆性,积分曲线,不定积分几何意义,例1 设曲线通过点(0,0)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的余弦值，求此曲线方程.,设曲线方程为,根据题意知,已知切线如何求函数的曲线？,分析与提示：,由此我们想到求符合已知条件的原函数.,解,由曲线通过点( 0 , 0 ),因此所求曲线方程为,根据题意知,解,解,不定积分 = 一个原函数+任意常数,不定积分的计算,二、基本积分公式,根据微分与不定积分的互逆运算,可得以下公式:,基本积分公式,基本积分公式,三、线性运算法则,代数和的不定积分,不定积分的代数和,1.代数和的不定积分,被积函数中的非0常数可以提到积分符号外边.,2.数乘运算的不定积分,四、计算不定积分方法,微分与积分互逆法直接求出不定积分用线性运算法求不定积分凑微分法求不定积分换元法求不定积分分

3、部积分法求不定积分,凑微分法,难求,易求,(一)凑微分法,解一：,解二：,例5,凑微分法几种常用配元形式,凑微分法,难求,易求,(二) 换元积分法,换元法,难求,易求,两个函数乘积的求导公式：,(三)分部积分法,对上式两端积分得：,称这个等式为分部积分公式.,分部积分公式,显然，选择不当，积分更难进行.,求不定积分练习,五、用MATLAB求不定积分,int(F,s) 该语句用于计算符号表达式F对自变量s求不定积分。,int(F) 该语句用于计算符号表达式F对默认自变量x求不定积分。, f=int(2*cos(x)-exp(x)+x-3) f = 2*sin(x) - exp(x) - 3*x + x2/2, f=int(x2/(1+x2) f = x - atan(x), f=int(cos(x)2) f = x/2 + sin(2*x)/4,求不定积分举例, f=int(sin(x)*x) f = sin(x) - x*cos(x), f=int(y*sin(x),x) f = -y*cos(x), f=int(4) f = 4*x,积分函数语句int(F,s)练习,,数学教研室：刘淑环,Thanks!,

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