土木工程力学教学课件作者少学时王长连课件第4章

1、土木工程力学（少学时）,应力的概念,轴向拉压杆的应力与强度条件,剪切和挤压的概念,圆轴扭转时的应力与强度计算,目录,梁的应力与强度计算,组合变形杆的应力与强度计算,01,应力的概念,第4章 杆件的应力与强度计算,第 1 节,第1节 应力的概念,用截面法只能求出杆件横截面上的内力。只凭内力的大小，还不能判断杆件是否破坏。例 如，两根材料相同、 截面面积不同的杆，受同样大小的轴向拉力 F 作用，显然这两根杆件横 截面上的内力是相等的，但随着外力的增加，截面面积小的杆件必然先拉断。这是因为轴力只 是杆横面上分布内力的合力，而杆件的破坏是因截面上某一点受力过大而破坏。因此，要保证 杆不破坏，还要研究内力在杆截面上是怎样分布的。 内力在一点处的集度称为应力。为了说明截面上某一 点 E 处的应力，绕 E 点取一微小面积 A，作用在 A 上的 内力合力记为 F（图），则二者比值为 p F A，称p 为 A 上的平均应力。 一般情况下，截面上各点处的内力是连续分布的，但 并不一定均匀，因此，平均应力的值将随 A 的大小而变化，它还不能表明内力在 E 点处的真 实强弱程度。只有当 A 无限缩小并趋于零时

2、，平均应力 p 的极限值 p 才能代表 E 点处的内力集度，即 式中 pE 点处的应力。,应力 p 也称为 E 点的总应力。因为通常应力 p 与截面既不垂直也不相切，为了便于分析计算，力学中都是将其分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量（图 41）。与截面垂直的应力分量称为正应力，用 表示；与截面相切的应力分量称为切应力，用 表示。应力的单位为帕斯卡，简称为帕，符号为 “”。 1Pa 1 ，即 1 帕 1 牛平方米。工程实际中应力的数值较大，显然上面应力单位太小了，工程中常用千帕（）、 兆帕（）及吉帕（ ）为单位，其中 1 ， 1 ， 1 ，即 1 1 ；1 1 ；1 1 ；工程图纸上，长度尺寸常以mm 为单位，凡是没有标明单位的，都默认长度单位为mm，工程上常用的应力单位为 1 1 1 1mm 1,02,轴向拉压杆的应力与强度条件,第4章 杆件的应力与强度计算,第 2 节,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,一、轴向拉压杆横截面上的应力,轴向拉压杆件是最简单的受力杆件，只有轴向力。 现取一根等直杆（图），为了便于观察轴向受拉杆所发生的变形现象，未受力前在杆件表面均匀地面画上若干与

3、杆轴纵向平行的纵线，及与轴线垂直的横线，使杆件表面形成许多大小相 同的小方格。然后在杆的两端施加一对轴向拉力 F（图）， 可以观察到，所有的纵线仍保持为直线，且各纵线都伸长了，但仍互 相平行，小方格变成长方格；所有的横线仍保持为直线，且仍垂直于 杆轴，只是相对距离增大了。,根据上述现象，可做如下假设： （1）变形前，杆件原为平面的横截面，变形后仍为平面且与杆轴线 垂直，这就是平面假设 （）杆件可看作是由许多纵向纤维组成的，受拉后，所有纵向纤维的伸长量都相同。 由上述变形推理知，轴力是垂直于横截面的，故它相应的应力也必然垂直于横截面。故横截面上只有正应力，没有切应力。据此知：轴向拉伸时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等（图）。由于拉压杆内力是均匀分布的，则各点处的正应力就等于横截面上的平均正应力，即,式中 FN 轴力；A横截面面积。 当杆件受轴向压缩时，上式同样适用，所求应力为负的正应力。即拉正应力为正，压正应 力为负，称为正的正应力，负的正应力。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,二、轴向拉压杆斜截面上的应力,设图所示等直杆，在其两端分别作用一个大小相等的轴向外力F，现

4、分析任意斜截面m n 上的应力。截面m n 的方位用其外法线on 与x 轴的夹角表示，并规定从x 轴起算，逆时针转向为正。,将杆件在m n 截面处截开，取左半段为研究对象（图），由静力平衡条件Fx 求得截面上的应力,p是斜截面任一点处的总应力（图），为研究方便，通常将p分解为垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的切应力（图d），则,和的正负号规定如下：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以使研究对象绕其中任意一点，有顺时针转动趋势时为正，反之为负。 当0时，正应力达到最大值max ，轴向拉压杆的最大正应力发生在横截面上。 当45时，切应力达到最大值max /2 ,即轴向拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上。 当90时， ，它表明在平行于杆轴线的纵向截面上无任何应力。,例 4- 1,例 图 所示为一阶梯直杆受力情况，其横截面面积 AC 段为A1 =400mm2 ，CB段为 A2 = 200mm2 ，不计自重，试绘出轴力图，并计算各段杆横截面上的正应力。,例 4- 2,例 如图所示拉杆，拉力F 12 kN，横截面面积 A = 120mm2 ，试求= 30、= 45、= 90各斜截

5、面上的正应力和切应力。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,三、轴向拉压时的变形,1.纵向变形 设杆件原长为L，受拉后，长度变为L1（图），则杆件沿长度的伸长量L L1L，称为纵向绝对变形，单位是毫米（mm）。显然，拉伸时L为正，压缩时L为负。 纵向绝对变形除以原长度称为相对变形或线应变，记为，其表达式为 L/L。 线应变表示杆件单位长度的变形量，它反映了杆件变形的强弱程度，是一个无单位的量，其正负号规定与纵向绝对变形相同。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,三、轴向拉压时的变形,2. 横向变形 设轴向拉伸杆件，原来横向尺寸为b，变形后为b1（图），则横向绝对缩短量为b b1b 相应地横向相对变形 为 b/b 与纵向变形相反，杆件伸长时，横向尺寸减少，b 与亦为负；杆件压缩时，横向尺寸增大，b 与均为正值。 . 泊松比 杆件轴向拉伸、压缩时，其横向相对变形与纵向相对变形之比的绝对值，称为横向变形因数，又称泊松比，用 表示，即 / 由于 与 的符号总是相反的，故有。 泊松比是一个量纲为1的量。试验证明，当杆件应力不超过某一限度时， 为常数。各种材料的 值由实验测定。,第 2 节

6、 轴向拉压杆的应力与强度条件,三、轴向拉压时的变形,4. 胡克定律 拉压实验证明，当应力不超过某一限度时，轴向拉压杆件的纵向绝对变形L 与外力F、杆件原长L 成正比，与杆件横截面面积A成反比，即LFL/A 引入比例常数E，上式可写成等式L FL/EA 由于轴向拉压时FN F，故上式可改写为L FNl/EA 胡克定律 E 称为弹性模量，由实验测定。由于应变是量纲为1的量，所以弹性模量 E 的单位与应力的单位相同。 当一定时，E 值越大，就越小。因此弹性模量反映了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。此外，EA 越大，杆件的变形就越小，因此 EA 表示杆件抵抗拉（压）变形的能力，故 EA 称为杆件的拉（压）刚度。 应用胡克定律计算变形时，在杆长L范围内，FN、E、A 都应是常量。,例 4- 3,例 试计算图所示支架杆1及杆2的变形。已知杆1为钢杆，A1 = 8cm2 ，E1 = 200 GPa；杆2为木杆，A2 = 400cm2 ，E2 = 12 GPa，F = 120kN。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,四、材料轴向拉压时的力学性能,材料的力学性能是由实验得到的。试件的尺寸和形状对实验

7、结果有很大的影响。为了便于比较不同材料的实验结果，在做实验时，应该将材料做成国家统一的标准试件。试件的中间部分较细，两端加粗，便于将试件安装在实验机的夹具中。在中间等直部分上标出一段作为工作段，用来测量变形，其长度称为标距l。为了便于比较不同粗细试件工作段的变形程度，通常对圆截面标准试件的标距l 与横截面直径的比例加以规定： l 1d 和l d。矩形截面试件标距和截面面积A 之间的关系规定为,当选定好标准试件之后，将试件安装在材料实验机上，使试件承受轴向拉伸。通过缓慢的加载过程，实验机会自动记录下试件所受的荷载和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力应变曲线。 在建筑材料中，将材料分成两大类，即韧性材料和脆性材料。对于不同的材料，其应力应变曲线有很大的差异。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,四、材料轴向拉压时的力学性能,图1 低碳钢的拉伸应力应变曲线图,图2 铸铁的拉伸应力应变曲线,图3 冷作硬化,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,四、材料轴向拉压时的力学性能,（一）韧性材料拉伸时的力学性能 1.弹性模量 应力应变曲线中的直线段称为线弹性阶段，如图1中直线段OA部分。弹

8、性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。对于大多数脆性材料，其应力应变曲线上没有明显的直线段，图2中所示为铸铁的应力应变曲线即属此例。因没有明显的直线部分，常用割线（图中虚线部分）的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。 .比例极限与弹性极限 在应力应变曲线上，线弹性阶段的应力最高限，称为比例极限，用p表示。线弹性阶段之后，应力应变曲线上有一小段微弯的曲线（图1中的AB 段）它表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系；但是，如果在这一阶段，卸去试件上的载荷，试件的变形将随之消失。这表明，这一阶段内的变形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段（图1中的OB段）。弹性阶段的应力最高限，称为弹性极限，用e表示。 .屈服极限 许多韧性材料的应力应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形却急剧增加，这种现象称为屈服，如图1中所示曲线的BC 段。这一阶段的最低点的应力值，称为屈服强度，用p表示。 对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2塑性应变时的应力值为其屈服点，称为材料的条件屈服强度，用0.2 表示。

9、,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,四、材料轴向拉压时的力学性能,（一）韧性材料拉伸时的力学性能 4.强度极限 应力超过屈服强度或条件屈服强度后，要使试件继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化阶段，如图1中曲线上的Cd段。这一阶段应力的最高限，称为强度极限，用b表示。 .颈缩与断裂 某些韧性材料（如低碳钢和铜），应力超过强度极限以后，试件开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩。出现颈缩之后，试件变形所需拉力相应减小，应力应变曲线出现下降阶段，如图1中曲线上的dE段，至E点试件拉断。 .冷作硬化 在试验过程中，如加载到强化阶段某点f时（图3），将荷载逐渐减小到零，明显看到，卸载过程中应力与应变仍保持为直线关系，且卸载直线fO1 与弹性阶段内的直线Oa近乎平行。在图3所示的 曲线中，f 点的横坐标可以将沿O1f 上升，并且到达f点后转向原曲线f dE，最后到达E点。这表明，如果将材料预拉到强化阶段，然后卸载，当再加载时，比例极限和屈服极限得到提高，但塑性变形减少。我们把材料的这种特性称为冷作硬化。,第 2 节 轴向拉压杆的应力与强度条件,四、材料轴向拉压时的力学性能,（三）压缩时材料的力学性能 材料压缩实验，通常采用短试样。低碳钢压缩时的应力应变曲线如图1所示。与拉伸时的应力应变曲线相比较，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同，但屈服后，由于试件愈压愈扁，应力应变曲线不断上升，试件不会发生破坏。 铸铁压缩时的应力应变曲线如图2所示，与拉伸时的应力应变曲线不同的是，压缩时的强度极限却远远大于拉伸时的数值，通常是抗拉强度

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