《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1

1、数学选修 21 第 1 页 共 31 页 2011 年高考数学年高考数学总总复复习习系列系列 高中数学高中数学选选修修 2-1 第一章第一章 常用常用逻辑逻辑用用语语 *特别注意：本章历来不做重点，只需知道特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且且”“”“或或”“”“非非”的特点即可的特点即可 一、基础知识一、基础知识【理解去记理解去记】 1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若BA ，则xA 是xB 的充分条件；若BA ，则 xA 是xB 的必要条件；若BA 且BA 即BA ，则xA 是xB 的充要条件. 2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分： “甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题. 3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与 结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去 判定也很方便. 4. 会用集合的子集的方法判断充要条件： A 是 B 的充分条件（或 B 是 A 的必要条件）

2、即 A BAB A 是 B 的充分不必要条件 BABA A 是 B 的充要条件 BABA 二、基础例题二、基础例题【必会必会】 注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例 1.（2009 全国高考卷）已知函数 32 31f xaxxx是减函数，求 a 的取值范围。 【分析】 0,fxxa b是 f x在, a b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是 充要条件，如 3 f xx 在 R 上递减，但 2 30fxx 。 【解析】：求函数的导数 2 361fxaxx（1）当 0fx时， f x是减函数，则 2 3610fxaxxxR 故 0 0 a 解得3a 。（2）当3a 时， 3 32 18 3313 39 f xxxxx 易知此时函数也在 R 上是减函数。（3）当3a 时，在 R 上 存在一个区间在其上有 0fx，所以当3a 时，函数 f x不是减函数，综上，所求 a 的取值范围 是, 3 。 【知识归类点拔】若函数 f x可导，其导

3、数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： 0)( x f与)(xf为增函数的关系:0)( x f能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数 3 )(xxf在),(上单调递增，但0)( x f，0)( x f是)(xf为增函数的充分不必要条件。 0)( x f时，0)( x f与)(xf为增函数的关系:若将0)( x f的根作为分界点，因为规定0)( x f， 即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)( x f。当0)( x f时，0)( x f是)(xf为 增函数的充分必要条件。0)( x f与)(xf为增函数的关系:)(xf为增函数，一定可以推出0)( x f， 但反之不一定，因为0)( x f，即为0)( x f或0)( x f。当函数在某个区间内恒有0)( x f，则 )(xf为常数，函数不具有单调性。0)( x f是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函 数学选修 21 第 2 页 共 31 页 数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单 调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调

4、区间，避免讨论以上问题，也 简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对3a 和3a 进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条 件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意 思维的严密性。 【练习】是否存在这样的 K 值，使函数 2432 21 2 32 f xk xxkxx在1,2上递减，在 2,上递增？ 答案： 1 2 k 。（提示据题意结合函数的连续性知 20 f ，但 20 f 是函数在1,2上递减，在 2,上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 20 f 求出 K 值后要检验。） 注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例 2.（2010 年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn. ()若首项 1 a，公差1 d，求满足 2 )( 2k k SS 的正整数 k； 3 2 ()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k

5、 都有 2 )( 2k k SS 成立. 【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时 极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 2 )( 2k k SS 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列 的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立 的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 【解析】：（I）当1, 2 3 1 da时nn nn nd nn naSn 2 1 2 1 2 ) 1( 2 3 2 ) 1( 由 22242 ) 2 1 ( 2 1 ,)( 2 kkkkSS k k 得 ，即 0) 1 4 1 ( 3 kk 又4, 0kk所以. （II）设数列an的公差为 d，则在 2 )( 2 n n SS中分别取 k=1,2,得 2 11 2 11 2 24 2 11 ) 2 12 2( 2 34 4 , , )( )( dada aa SS SS 即 由（1）得 . 1 0 11 aa或当, 60)2(,0 1 dda或得代入时 若 2 1 )(, 0, 0, 0, 0 kknn SSSa

6、da从而则成立, 若知由则216,324)( ,18),1(6, 6, 0 2 331 nn SSSnada,)( 2 39 Ss 故所得数列不符合题 意.当20,)2(64)2(,1 2 1 dddda或解得得代入时 若;)(, 1, 0, 1 2 1 2 成立从而则 k k nn SSnSada 若成立从而则 22 1 )(,) 12(31, 12, 2, 1 nnn SSnnSnadaL. 综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即 1，3，5， （1） （2） 数学选修 21 第 3 页 共 31 页 第二章第二章 圆锥圆锥曲曲线线与方程与方程 一、基础知识【理解去记】 1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的 轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)， 参数方程为 sin cos by ax （为参数）。 若焦点在

7、y 轴上，列标准方程为 1 2 2 2 2 b y a y (ab0)。 3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 1 2 2 2 2 b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2 ，与右焦点对应的准线为 c a x 2 ；定义中的比 e 称为离心率，且 a c e ，由 c2+b2=a2知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上 的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论： 1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 1 2 0 2 0 b yy a xx ； 数学选修 21 第 4 页 共 31 页 2）斜率为 k 的切线方程为 222 bkakxy； 3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为 222 2 cos 2 ca ab l 。 6双曲线的定义，第一定义： 满足|PF1|-|

8、PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x ， 参数方程为 tan sec by ax （为参数）。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 1 2 2 2 2 b x a y 。 8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 1 2 2 2 2 b y a x (a, b0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为., 22 c a x c a x离心率 a c e ，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程 为x a k y，双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与1 2 2 2 2 b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。 若 a=b，则称为等轴双曲线。 9补充知识点： 双曲线的常用结论， 1）焦半径公式，对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的 任一点，若 P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是 222 2 cos 2 ca ab 。 10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂 直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标为) 0 , 2 ( p ，准线方程为 2 p x，标准方程 数学选修 21 第 5 页 共 31 页 为 y2=2px(p0)，离心率 e=1. 11补充知识点 抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|= 2 p x ； 2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为

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