【100所名校】辽宁省沈阳市学校2018届高三第三次模拟考试数学（理）试题（解析版）

1、辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟考试试题数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 2若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 实轴上 D. 虚轴上3角的终边与单位圆交于点,则（ ）A. B. C. D. 4在中，若，则（ ）A. B. C. D. 5已知为等差数列， ，则的前9项和（ ）A. 9 B. 17 C. 72 D. 816若变量， 满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 2 B. 7 C. 9 D. 137命题“m=-2”是命题“直线2x+my-2m+4=0与直线mx+2

2、y-m+2=0平行”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8函数 的部分图象如图所示，则的值是（ ）A. B. C. D. 9已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或610己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 11已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有 （ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个12设分别为双曲线的左、右顶点， 是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题13设等比数列的前项和为，若， ，则 _14抛物线的焦点为，点， 为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为_15已知平面向量满足： ， ， ， ，则与的夹角正弦值为 _16已知是定义在上的偶函数，令，若实数满足是，则_三、解答题17已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.（1）求当为何值时,数列是等比数列

3、,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.18已知三个内角 的对边分别为， 的面积满足（1）求角的值；（2）求的取值范围19如图，四面体中， 是的中点， 和均为等边三角形， ， （1）求证： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055手机支付4610620(1)若从年龄在 55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望；(2)把年龄在15，45）称为中青年，年龄在45，75）称为中老年，请根据上表完22列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？手机支付未使用手机支付总计中青年中老年总计可能用到的公式： 独立性检验临界值表：21已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知分别为椭圆的左右顶点， ,，且,

4、直线与分别与椭圆交于两点，（i）用表示点的纵坐标；（ii）若面积是面积的5倍，求的值22已知函数（1）求在上的最小值；（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟考试试题数学（理）答 案1A【解析】由题意可得，选A.2D【解析】由题意可得， ，所以，对应点坐标(0,-1),选D.3D【解析】由题意得 ， ， ，选D.4C【解析】由题意得=，解得，选C.5D【解析】由题意得 ，而 ，选D.6B【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为y=-4x+z,即求截距的最大值，过点C(2,-1)时，取到最大值7.选B.7C【解析】当两直线平行时，m2=4,m=2，当m=2时，两直线均为x+y=0，不符。当m=-2时，两直线分别为x-y-4=0,x-y-2=0不重合，符合。所以m=-2是两直线平行的充要条件，选C.8C【解析】同图像可知，所以， 又， ，所以， ，所以，选C.【点睛】1.根据 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即；(3)

5、的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；(4) 求，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令， )确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.9C【解析】圆可化标准方程： 直线可变形为，即圆心为（1，0），半径r=1,直线过定点（2，2），由面积公式 所以当时，即点到直线距离为时取最大值。，解得k=1或7,选C.【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键，选择，使运算更简单，也更好理解。10A【解析】由题意可知，即有两个解，且均大于零。即，解得,选A.【点睛】转化为有两个正数解，用韦达和判别式或根的分布求得范围。11D【解析】由题意得，f(x)=0有三个零点,-1,1,0,而有两个解-1,和1. 有四个解， 无解。所以共6个解，选D.【点睛】复合函数零点问题，一般把内函数当整体，再由外到内或由内到外解决。12C【解析】设， ，点P在双曲线上，得，

6、所以，即 设函数， ,所以f(x)在区间单调递减，在区间单调递增。，即,又均值不等式等号成立条件当且仅当，所以.选C.【点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点，另一动点，则（2）椭圆上任意关于原点对称的两点，另一动点，则1363【解析】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63.1413【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。如本题就利用抛物线的定义进行距离转化。抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d，同时折线段和大于或等于垂线段距离，即点A到准线的距离。15【解析】由题意得，即求，如下图，所以， ，填。162018【解析】由题意可知,因为是定义在上的偶函数，所以，所以=2018，填2018.【点睛】偶函数定义域关于原点对称，且满足f(x)=f(-x), 奇函数定义域关于原点对称，且满足f(x)=-f(-x)。17（1）；（2）【解析】试题分析：（1）再写一个式子，利用可求得。（2）由（1）可得，所以，用裂项求和求和。试题解析：（1）

7、由得：当时， ，两式相减得： ， 因为数列是等比数列，所以，又因为，所以解得： ,得： （2） 【点睛】对于递推式中有等时，我们常用公式， 统一成或统一成做。18（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理和面积公式代入可求角C.(2)由（1）得，所以，消去角B，变成关于角A的三角函数，注意，可求的范围。试题解析：（1），又， .（2）【点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（2）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解19（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证平面，只需证，所以连OC,由勾股定理可证。（2）以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用空间向量求出线面角。试题解析：（1）证明：连结为等边三角形， 为的中点，

8、和为等边三角形， 为的中点， ，在中，,，即， 平面 （2）以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， 设平面ACD法向量为 由，可得，令，可得 又直线与平面所成角的正弦值为【点睛】直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.20（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）超几何分布列（2）根据上表填22列联表，根据公式算出卡方与数据进行比较。试题解析：（1）年龄在 55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0,1,2 ； ； 所以X的分布列为X012P（2）22列联表如图所示手机支付未使用手机支付总计中青年201030中老年81220总计282250没有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联21（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由b=2, ,可求得标准方程。（2）设直线方程与椭圆方程组方程组，可解得交点坐标E,F。三角形面积公式用，面积比转化为线段比，再转化为y坐标的比。试题解析：（1）由题意知，解得， 椭圆的标准方程为： . （2）（i） ， ， ，且 ， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由 得 ，点E的纵坐标 ，由 得 ，（i

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