信号与系统分析基础 非信息类专业 教学课件 ppt 作者 潘文诚 等 第5章 离散傅里叶变换

1、第5章,离散傅里叶变换,第5章 离散傅里叶变换,在第4章中，我们讨论了利用z变换和离散时间傅里叶变换来表示离散序列的变换域形式。而对于有限长离散序列，可以得出另外一种傅里叶表示形式，称为“离散傅里叶变换（DFT）”。DFT是对离散时间傅里叶变换DTFT在02的频域上进行等间隔抽样。DFT作为有限序列的傅里叶表示，在理论上十分重要，在实现各种数字信号处理算法中起着核心作用，它使得在计算机上实现信号处理成为可能。在这一章，我们将讨论DFT的定义、性质以及它和其它变换方法之间的关系。我们将在下一章讨论DFT的高效算法快速傅里叶变换。,5.1有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）,在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频域的分析方法较之时域方法有很多突出的优点，傅里叶变换作为一种变换域方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。在第2章和第4章中，我们分别讨论了连续时间信号的傅里叶分析和离散时间信号的傅里叶分析，但这两种傅里叶变换都无法直接在数字计算机上运行。若要在计算机上实现对信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：信号在时域和频域都为有限长的离散序列。离散傅里叶变换（

2、DFT）就是基于这种目的引导出的。,5.1.1 旋转因子及其性质,（5.1. 1）,式（5.1. 1）中的WN称为旋转因子。当n从0取到N-1时，沿着单位圆顺时针旋转一周。,点z=ej沿着复平面上的单位圆移动，表示 z 与原点连线和正实轴构成的角度，的周期为2 。若对从0 2进行等间隔抽样，抽样点数为N，则抽样间隔为 ，若沿单位圆顺时针旋转，则第 n 个取样点为：,由旋转因子定义可知，具有如下几个性质：,1.共轭对称性,（5.1. 2）,此性质说明，对单位圆上顺时针旋转n点得到点WNn ，与逆时针旋转n点得到的点WN-n ，这两点相对于z平面的实轴对称。,2.周期性,，k为整数,（5.1. 3）,此性质说明，单位圆上某点沿单位圆顺时针旋转k周或逆时针旋转k周后，仍与原来的点重合。,3.可约性,（5.1. 4）,此性质说明，在N等分的单位圆上旋转nk次，相当于将单位圆上的等分点数减少为原来的1/k，然后旋转n次。例如，若单位圆上有8个等分点，则从第0个点逆时针旋转四次，到达第4个等分点，其位置与将单位圆进行4等分，从第0个点逆时针旋转两次所在的位置是相同的。,4.正交性,，其中l为整数,

3、（5.1. 5）,5.1.2离散傅里叶变换的定义,我们知道计算机只能进行离散运算，而我们前面所讨论的两种傅里叶变换FT和DTFT，其中FT在时域和频域上都是连续的，DTFT虽然在时域上是离散的，但是在频域上也是连续的。因此，为了实现利用计算机对信号频谱进行分析计算，我们需要引入一种在时域和频域上均为离散形式且长度有限的傅里叶变换，即离散傅里叶变换（DFT）。,设x(n)为有限长序列，它有N个样值，它在0nN1范围之外x(n)=0 ，把x(n)看成是周期为N的周期序列 的一个周期，即,其图形如图5- 1所示。则，x(n)离散傅里叶变换DFT和反变换IDFT定义如下：,，,（5.1. 6）,（5.1. 7）,图5- 1 有限长序列,，,（5.1. 6）,，,（5.1. 7）,其中，WN为旋转因子， 。注意，式（5.1. 6）中k为离散变量的取值，且取值范围为0kN1 。可见 ，对于N点有限长序列x(n)的离散傅里叶变换 X(k) 在频域上也是一个N点有限长序列，这一特性使我们可以利用数字计算机对DFT和IDFT进行计算。若在所讨论的问题中不涉及N的变动，则符号WN可简化为W，式（5.1.

4、6）和（5.1. 7）也可以写成矩阵形式：,（5.1. 8）,和,（5.1. 9）,【例5-1】 求矩形脉冲序列 x(n)=RN(n)的DFT。,【解】：由定义写出,当k=0时，,，因此有X(0)=N 。当k = 1，2，3,，N-1时，则有,，而,，,所以 X(k)=0 （k = 1，2，3，N-1）。,此结果表明，矩形序列的DFT仅在k = 0时有值为N，在其余（N-1）个样点上，均为0，可以写作：,可见，矩形序列的离散频谱是一个单位脉冲序列。,即,【例5-2】 利用矩阵表示式求矩形序列 R4(n)=1,1,1,1的DFT，再对所得的求其IDFT，验证结果的正确性。,【解】 由N=4可得,显然，得到的结果与例5-1中得到的一般性结论是一致的，其图形如图5- 2所示。,图5- 2 例5-2的图形表示,再求其逆变换：,由于离散傅里叶变换DFT的时域信号和频域信号均为有限序列，因此可以方便地利用计算机来实现其计算过程，第5.5节给出了离散傅里叶变换和离散傅里叶逆变换的Matlab函数，函数名分别为DFT和IDFT，读者可直接利用这两个函数在Matlab环境下进行计算。,5.1.3 DFT

5、与DTFT、Z变换的关系,设 x(n)是包含N个样值的有限长序列，对此序列进行z变换，得到：,（5.1. 10）,假设X(z)的收敛域包含单位圆，令变量z在单位圆上取值 ，即z=ej ，此时即可得到序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）,（5.1. 11）,若进一步，令式（5.1. 11）中的变量在单位圆上等角距抽样，抽样间隔为 ，实际上是对频域上的连续变量进行离散化。此时 （k为整数），,（5.1. 12）,引入旋转因子 形式，则式（5.1. 12）变为：,（5.1. 13）,可见，式（5.1. 13）中的X(k)即为有限长序列x(n)的DFT。,实际上，对有限长序列在单位圆上的N个等分点上计算其z变换，即令 ，就是有限长序列DFT。,从以上推导过程，我们可以看到：有限长序列x(n)的DTFT，即X(ej) ，是其z变换 X(z)在单位圆上的取值；有限长序列x(n)的DFT，即X(k) ，是其傅里叶变换X(ej)在单位圆上以 为角间距的等角距抽样值，它们之间的关系如图5- 3所示。,图5- 3 DFT与DTFT和Z变换的关系,图5- 3 DFT与DTFT和Z变换的关系,5.2

6、离散傅里叶变换的性质,5.2.1 线性性质,如果有两个有限长序列x1(n)和x2(n) ，令x3(n)为两个有限长序列的线性组合：x3(n)=ax1(n)+bx2(n) a、b为任意常数，容易证明x3(n)的DFT为,(5.2.1),若x1(n)的长度为N1，x2(n)的长度为N2，则x3(n)的最大长度N3=max(N1, N2)。因此要使式(5.2.1)有意义，序列x1(n)和x2(n)的DFT必须按同一长度Nmax(N1, N2)来计算。例如，若N1N2，则需要对x1(n)增加(N2N1)个零点，构成长度为N2的序列后，再对其计算DFT。,5.2.2 圆周移位特性,为了对有限长序列的移位特性进行研究，我们首先需要建立有限长序列的“圆周移位”概念。 对于有限长序列x(n) ， 0nN-1，向右时移M位，得到的序列x(n-M)仍然是包含N个样值的有限长序列，但其所在区间为MnN-1+M，这给位移序列的研究带来了不便。因此，针对有限长序列，我们引入新的位移概念“圆周移位”。先将有限长序列x(n)以它的长度N作为周期，将其延拓为周期序列 ，即表示成,（5.2. 2）,通常把周期序列 写成

7、,（5.2. 3）,这里符号(n)N是求余数表达式，读作“对求余数”，它表示将被除后得到最大整数商后的余数值。例如，设n=n1+rN （为周期，为整数，0n1N-1），则(n)N=n1。 将 平移M位后得到 ，最后取 的主值序列(0nN-1) ，即,（5.2. 4）,用求余数的表达方式，式（5.2. 4）还可以写成：,（5.2. 5）,式（5.2. 5）中x(n-M)N表示对序列x(n)平移M个单位并进行以N为周期的周期延拓，乘RN(n)是以N为长度取主值区间。 例如，图5- 5给出了N = 5的有限长序列x(n)经圆周移位2，得到x(n-2)5R5(n)的过程。首先将有限长序列x(n)以5为周期进行延拓得到周期序列 ，如图5- 5（b）所示；然后对周期序列 向右移位2，得到 如图 5- 5（c）所示；最后提取 的主值序列，即0n4的部分，得到x(n)的圆周移位2的结果，如图5- 5（d）所示。,图5- 5 有限长序列的圆周移位,在对长度为N的有限长序列x(n)进行圆周移位时，应将其想象成周期序列 的从0到N-1之间的一个周期。当x(n)向右移时，移到N-1之外的样本值又从序列的左边依

8、次填入x(n)移出的空白位，如图5- 5中最后一张图所示。因此，我们可以将序列x(n)的N个样值按逆时针顺序排列在圆周的N个等分点上， N个样值首尾相接。 若M 0，即将x(n)向右移M位，相当于将圆周逆时针旋转M个等分位；若M 0，即将x(n)向左移M位，相当于将圆周顺时针旋转M个等分位。如图5- 6所示，表示将序列x(n)向左和向右圆周移位2。,图5- 6 序列的圆周移位,圆周移位也可以称为循环移位，或简称圆移位。当有限长序列进行任意位数的圆移位时，它们的DFT级数取和范围仍保持0N-1不变。 下面我们给出DFT的时域圆周移位特性，若,对x(n)时域圆移M位，得到序列y(n) ，即,则,（5.2. 6）,式（5.2. 6）表明对序列x(n)向右圆移M位，其DFT需要乘以相移因子WNMk 。 证明：,设i=n-M ，经换元得到：,由于 和WNik均是以N为周期的周期性序列，因此 也是周期为N的周期性序列。而上式中方括号内的累加和范围为一个周期，因此可将累加和范围改为i = 0到N-1，即,因此,与时域圆周移位特性类似的，同样的方法可证明频域圆周移位特性，下面我们直接给出： 若,对X(

9、k)进行圆周移位L个单位，得到序列Y(k) ，即,则,（5.2. 7）,此特性表明，若时间序列乘以相移因子WN-Ln，则所对应的DFT向右圆周移位L个单位。,【例5-3】 已知4点序列x(n)=2,1+j,1-j,3的DFT为X(k)=7,2+3j,-1-2j,-j ，求对x(n)向右圆周移位2个单位的序列，并计算移位后的DFT。 【解】 x(n)为四点序列，我们可以将x(n)的四个点按逆时针顺序排列在圆周的4个等分点上，向右圆周移两个单位，相当于将圆周逆时针旋转2个单位，如图5-7所示，得到圆周移位后的序列：,图5- 7 例5-3中的圆周移位,根据时域圆周移位特性,可得,即X1(k)=7,2+3j,-1-2j,-j 。,（5.2. 6）,X(k)=7,2+3j,-1-2j,-j,5.2.3 圆周卷积定理,假设x1(n)和x2(n)经过补零到两个长度一致的有限长序列，长度为N，且有：,则,（5.2. 8）,式中x1(n) x2(n)表示序列x1(n)和x2(n)的时域圆周卷积，也称为循环卷积，简称圆卷积。其定义式如下：,（5.2. 9）,x1(n),我们称式（5.2. 8）为时域圆周卷积定理。,证明：,由DFT的圆周移位特性，上式可得到如下形式,（5.2. 6）,由此证得式（5.2.8）。,注意圆卷积与前面介绍的卷积和的区别，卷积和计算公式如下：,（5.2.10）,（5.2. 6）,（5.2. 9）,（5.2.10）,比较式（5.2.10）和（5.2.9）可以看出，卷积和是将一个序列的反褶序列做平移后与另一个序列的乘积，在整个时间轴上求级数。而圆周卷积是对一个序列的反褶序列做圆移后与另一个序列的乘积，在0mN-1范围内求累加和。因此，与“圆卷积”对应，卷积和也称为“线卷积”。 与线卷积的图解步骤类似，圆卷积的图解分析也是按照周期反褶

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