数学第一册 教学课件 ppt 作者 张黎黎 第五章　三角函数的图像　解斜三角形

1、第五章 三角函数的图像 解斜三角形,第一节 正弦函数、余弦函数的图像和性质,一、正弦函数的图像和性质,(一) 正弦函数的图像 因为y=sin(x+2k)=sinx(kZ),所以角由k2逐渐增加k2+2时,正 弦函数的变化情况与角从0逐渐增加到2时正弦函数的变化情况完全相同。,(二)正弦函数的主要性质,二、 余弦函数的图像和性质,根据诱导公式sin =cosx可知,余弦函数y=cosx的图像 可以看作由正弦函数y=sinx的图像向左移动 而得到(图5-7) 。,图 5-7,余弦函数的图像叫做余弦曲线。,由余弦曲线我们直观地看出,余弦函数y=cosx的主要性质如 下:,1.定义域和值域,余弦函数y=cosx的定义域是R,值域是-1,1。,余弦函数y=cosx在x=2k(kZ)时,有最大值y=1;在x=(2k+1) (kZ)时,有最小值y=-1。余弦函数y=cosx也是有界函数,|cosx|1。,2.周期性,余弦函数y=cosx也是周期函数,它的周期也是2。一般地,函 数y=cosA(x+)(0)的最小正周期是T= 。,3.奇偶性,余弦曲线是关于y轴对称的,所以余弦函数y=cosx是偶函数。

2、,观察余弦函数y=cosx在0,2上的变化情况,可以看出,y=cosx 在区间0,上单调减少,在区间,2上单调增加。根据余弦 函数的周期性,可知y=cosx在每一个闭区间2k,2k+上是 减函数;在每一个闭区间2k+,2k+2上是增函数,其中k Z。,4.单调性,根据余弦函数的图像和性质可知,余弦函数在0,2的一个周 期内的图像(图5-8)也可采用“五点法”作出,即作出五个关 键点(0,1)、( ,0)、(,-1)、( ,0)、(2,1),再用光滑的曲线依次连接。,图 5-8,例4 用“五点法”作出函数y=-sin 在0,2上的图像 。,解 因为sin =cosx,所以作y=-sin 的图像就是 作y=-cosx的图像(图5-9)。,列表:,图 5-9,(1) cos324和cos325;,(2) cos 和cos ;,(3) sin200和cos210;,(4) cos和sin, 。,例5 比较下列个数的大小:,解 (1) 因为180324325360,由于余弦函数y=cosx在区 间180,360上是增函数,所以,(2) 因为cos =cos ,cos =cos ,而0 , 由于余

3、弦函数y=cosx在区间0,上是减函数,所以,(3)因为sin200=sin(270-70)=-cos70,cos210=cos(180+30) =-cos30,而0-cos30,因此,(4) 因为0 ,所以 - ,那么,0 - ,由于余 弦函数y=cosx在区间0,上是减函数,因此,想一想:若 ,比较cos和sin的大小。,例6 求函数(1) y=2cos ; (2) y=3cos 的周 期。,解 (1) 最小正周期T= = =6;,(2) 最小正周期T= = =。,第二节 正切函数、余切函数的图像和性质,一、 正切函数的图像和性质,根据正切函数的定义可知,函数y=tanx的定义域是x|xR,x k+ ,kZ。由诱导公式tan(x+)=tanx(x|xR,xk+ ,k Z)可知,正切函数是周期函数,是它的最小正周期。现在 我们用描点法先作出它在区间 内的图像。,取x 内一些值,求出函数y=tanx的对应值,列表如 下:,在直角坐标系中,作出对应的这些点,把它们依次连接成 光滑的曲线,这条曲线就是函数y=tanx在区间 内的 图像(图5-10)。,图 5-10,根据正切函数的周期性,就

4、可以得到正切函数y=tanx在定义 域x|xR,xk+ ,kZ内的图像(图5-11)。,图 5-11,正切函数的图像叫正切曲线。可以看出正切曲线是由互相 平行的直线x= +k(kZ)隔开的无穷多条曲线组成的。,正切函数y=tanx有以下主要性质:,1.定义域和值域,正切函数y=tanx的定义域是x|xR,xk+ ,kZ。,由图可以看出,当x小于 +k(kZ)而无限接近于 +k(k Z)时,曲线向上无限延伸,tanx无限增大趋向于正无穷大 (tanx +);,当x大于- +k(kZ)而无限接近于- +k(kZ)时, 曲线向下无限延伸,tanx无限减少趋向于负无穷大(tanx-) 。这就是说,tanx可以取任意实数值,但没有最大、最小值。 因此,函数y=tanx的值域是R,正切函数是无界的。,2.周期性,函数y=tanx是周期函数,最小正周期是。,3.奇偶性,从诱导公式tan(-x)=-tanx可知,函数y=tanx是奇函数,它的图像 关于原点对称。,4.单调性,由图像可以看出,函数y=tanx在 (kZ)的 每一个开区间内,都是增函数。,二、 余切函数的图像和性质,余切函数y=cotx的

5、图像也可以用描点法作出,图5-12就是余切,函数y=cotx的图像。余切函数y=cotx的图像(xR且xk,k Z)的图像叫做余切曲线。,图 5-12,余切函数y=cotx的主要性质如下:,1.定义域和值域,函数y=cotx的定义域是x|xR且xk,kZ;值域是R;余切 函数也是无界的。,2.周期性,函数y=cotx是周期函数,最小正周期是。,函数y=cotx是奇函数,它的图像关于原点对称。,4.单调性,函数y=cotx在(k,k+)(kZ)内的每一个开区间都是减函数 。,3.奇偶性,例1 已知函数y=tan x,求出函数的定义域和最小正周期。,解 根据正切函数的定义可知,要使函数有意义,必须使 x k+ ,kZ,所以x(2k+1),kZ。由此可得函数的定义,域为x|xR且x(2k+1),kZ。,函数的最小正周期T= = =2。,例2 比较下列各组中两数的大小:,(1) tan130和tan131;,(2) tan300和tan30;,(3) cot 和cot ;,(4) tan1和1。,解 (1) 因为90130131270,而正切函数在区间(90,27 0)内为增函数,所以,(2)

6、 因为tan3000,所以,(3)因为cot =cot =cot ,而0 ,由于余 切函数在区间(0,)内是减函数,所以,(4) 因为157.345,而正切函数在区间(-90,90)内为增函 数,所以,tan1tan45,由于tan45=1,因此,第三节 解斜三角形,在初中,我们已经学习了锐角三角比及利用其求解直角三角形。但在生产实际和科学技术中,经常会遇到解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)的问题:已知一个斜三角形的三个元素(其中至少有一条边),求其他的元素及三角形的面积。本节将介绍正弦定理和余弦定理,并利用两个定理来解斜三角形。,一、正弦定理,为了解斜三角形,首先要建立三角形中边与角之间的关系。 我们先从研究在直角坐标系内的三角形的面积公式入手。,图 5-13,如图5-13所示,我们以ABC的顶点A为原点,边AC所在的射 线为Ox轴的正半轴,建立坐标系。由任意角三角函数的定义 可知,点B的坐标是(ccosA,csinA)。于是ABC的面积:,S= bhb= b|csinA|= bcsinA,这样,我们得到三角形的面积公式为,也就是说,三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正 弦的积的

7、一半。将等式各边都除以 abc,得,由此,我们得到任意三角形的边和角之间关系的一个重 要定理:,正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对应的角的正弦的 比相等,并且都等于三角形外接圆的直径,即,式中R是三角形外接圆的半径。,如果ABC中有一个是直角,例如C=90,那么sinC=1,由正弦 定理可得sinA= ,sinB= 。这和初中学过的直角三角形中 的边角关系是一致的。,利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解下面两类斜三角 形的问题:,1.已知三角形的两角与任一边,求其他两边和一角,例1 已知ABC中,A=75,B=45,b=10,求C、a、c、S。(精 确到0.01),解 因为A=75,B=45,所以C=180-(A+B)=180-(75+45)=60 ;又因为b=10,根据正弦定理 = 得,同理,c= = =12.25,2.已知三角形的两边与其中一边的对角,求其他的边与角。,例2 根据条件解三角形:,(1) 已知a=2,b=2 ,A= ,求B。,(2) 已知a= ,b=2,A= ,求B。,(3) 已知a=4,b=10,A=30,求B。,(4) 已知a=3,b= ,A=150,求B。

8、,解 (1) 根据正弦定理 = 得,所以B1= ,B2= 。,(2)根据正弦定理 = 得,B1= ,B2= ,由于ab,由三角形“大边对大角,小边对小角 ”的性质,BA,所以B2= 应舍去。于是得,(3)根据正弦定理 = 得,所以本题无解。,(4) 根据正弦定理 = 得,所以B=13.63。,想一想:为什么本题只有一解?,从上述几例,我们可以看出,对“已知三角形的两边与其中一 边的对角,解三角形”会出现不同情况的解,这是因为两边与 其中一边的对角不能唯一确定三角形。,例3 图5-14是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋,转时,通过连杆AB的传递,使活塞作直线往复运动。当曲柄在 CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,这时,连杆的端点A在A0处 。设连杆AB长340mm,曲柄CB长85mm,求曲柄CB0按顺时针 方向旋转80时活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离 A0A),结果保留两个有效数字。,图 5-14,解 因为A0A=A0C-AC,而A0C=AB+BC=(340+85)mm=425mm, 所以需先求出AC的长。,在ABC中,由 = ,得,由于BCAB,所以A为锐角,A=14

9、15,再由AC= = =344.3,得,答:曲柄CB0按顺时针方向旋转80时,活塞移动的距离为80.7 mm。,二、 余弦定理,正弦定理解决了已知两角一边和两边一对角解三角形的问 题,这一节里,我们将学习另一个重要定理余弦定理,它揭 示了三角形的三边和一角的关系。,同样,我们以ABC的顶点A为原点,边AC所在的射线为Ox轴 的正半轴,建立坐标系(如图5-13)。这时C点的坐标是(b,0),点,B的坐标是(ccosA,csinA)。根据两点间的距离公式,得a= 。,两边平方,得,这样,我们就得到任意三角形的三边和一角的重要定理:,余弦定理 三角形的一边的平方等于其余两边的平方和减,去这两边与它们的夹角的余弦的乘积的两倍,即,余弦定理也可写成以下形式:,如果ABC中有一个是直角,例如C=90,那么cosC=0,这 时的余弦定理成为c2=a2+b2,与初中学过的勾股定理一致。,想一想:如果ABC中,c2=a2+b2,那么cosC=?,C=?,利用余弦定理,我们可以解决下面两类斜三角形的问题:,1) 已知三角形的三边,求三个角。,2) 已知三角形的两边和它们的夹角,求第三边和两个角;,例4 已知ABC中,a=7,b=10,c=6,求角A、B、C。,解 根据余弦定理cosA= ,有,一般在解题中,第三个角C可以用余弦定理独立计算求 得,再用三角之和是否等于180验算;也可以直接利用三角之,和等于180计算第三个角C;后者比较方便。,例5 已知三角形中a=10,b=6,C=60,求三角形外接圆的半径 R是多少?,解 根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=102+62-2106cos 60,得c=,由 2R= ,得R= = 。,所以三角形外接圆

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