《电路分析基础（第三版）》-付玉明-电子教案 第5章 一阶动态电路分析

1、1,第五章 一阶动态电路分析,5.1 电容元件和电感元件,5.2 换路定律及初始值的确定,5.3 零 输 入 响 应,5.4 零 状 态 响 应,5.5 全 响 应,5.6 求解一阶电路三要素法,2, 动态元件电感、电容的特性。 初始值的求法、动态电路方程的建立及求解。 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应的含义及其它们的分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。,【本章重点】, 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。,【本章难点】,3,5.1 电容元件和电感元件,电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。,斜率为R,图5-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线,当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=C dq/dt 非关联时： i= -C dq/dt,5.1.1 电容元件,4,电容的伏安还可写成：,式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压

2、，称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻的电流 i 有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。,5,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，说明电容是在供出能量，处于放电状态。 对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能为：,6,式中 u(-) 表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-) =0。于是，电容在时刻 t 的储能可简化为：,由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决于此 时刻的电压，而与电流无关，且储能 0。,电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它本身不消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量，所以称电容为储能元件。,7,5.1.2 电感元件,电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是它的理想化模型。当电流通过电感器时，就有磁链与线圈交链，当磁通与电流 i 参考

3、方向之间符合右手螺旋关系时，磁链与电流的关系为：,图5-2 电感元件模型符号及特性曲线,当u、i为关联方向时，有: 这是电感伏安关系的微分形式。,(t)=L i(t),8,电感的伏安还可写成：,式中，i(0)是在 t=0 时刻电感已积累的电流，称为初始电流；而后一项是在t=0以后电感上形成的电流，它体现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于该时刻的电压值，还取决于-t 所有时间的电压值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有“记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。,9,当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：,与电容一样，电感的瞬时功率也可正可负，当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场能量。 对上式从-到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：,10,因为,所以,由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能 。 和电容元件一样电感也是一种无源元件。,11,5.2 换路定律及初始值的确定,通常，我们把电路中

4、开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相等的，可表达为： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路 中其他电压、电流都可能发生跃变。,5.2.1 换路定律,12,5.2.2 初 始 值 的确 定,换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。,电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是： 画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若iL(0+)= iL(0-)

5、=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。,13,例5-1 在图5-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭 合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、 iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。,图 5-3 例 5-1 图,14,解 : (1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如图5-3(b)）所示，由该图可知：,（2）由换路定理得,15,因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图5-3 (C) 所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即,iC(

6、0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-32-4=0,16,例5-2 电路如图5-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能， 开关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初 始值。,图 5-4 例5-2 图,解（1）由题意知：,（2）由换路定理得,17,因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图5-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得,通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。,i3(0+)=0,uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V,18,当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.,图5-5 RC电路的零输入响应,uR,5.3 零 输 入 响 应,图5-5 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储

7、能而产生，故属于零输入响应。,5.3.1 RC电路的零输入响应,19,-uR+uc=0,而uR=i R,，代入上式可得,上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t0 式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为 RCP+1=0,式,换路后由图（b）可知，根据KVL有,20,从而解出特征根为,则通解,式,将初始条件 uc(0+)=R0IS 代入3式，求出积分常数A为,将 代入上式，得到满足初始值的微分方程的通解为,放电电流为,t0 式,t0 式,21,令=RC，它具有时间的量纲，即,故称为时间常数, 这样、两式可分别写为,t0,t0,由于,为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，,它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及,当t时，uc和 i 衰减到零。,22,图5-6 RC 电路零输入响应电压、电流波形图,画出uc及i的波形如图5-所示。,23,5.3.2 RL电路的零输入响应,一阶RL电路如图5-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I

8、0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图5-7 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。,图5-7 RL电路的零输入响应,24,由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0,将,代入上式得,1式,iL=Ae pt t0,上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为,2式,将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0,故特征根为,25,则通解为,若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为,t0 3式,t0,将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分常数A为 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为,t0 4式,26,电阻及电感的电压分别是,t0,t0,分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图5-8(a)、(b)所示。 由图5-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐

9、衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。,27,图5-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形,28,从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为,t0,应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。,29,例5-3：如图5-9 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。 解 由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。所以,图 5-9 例 3 图,由换路定律，得,作出t=0+等效电路如图(b)所示，,30,电容用4V电压源代替，由图(b)可知,换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为：,时间常数为,31,A,V,t0,t0,也可以由,求出 i C = -0.8e -t A t0,V,t0,计算零输入响应，得,32,5.4 零 状 态 响 应,5.4.1 RC电路的零状态响应 图5-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。,图5-10 (a) R C电路的零状态响应,在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，uR(0+)=US，故 电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，,33,uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。 由kVL u

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