高三数学总复习指导(理科)专题十四 坐标系与参数方程
7页1、今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题十四 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识,参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程这部分内容既是解析几何的延续,也是高等数学的基础【知识要点】1极坐标系的概念,极坐标系中点的表示在平面内取一个定点O,O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系O称为极点,Ox称为极轴设M是平面内任意一点,极点O与点M的距离OM|叫做点M的极径,记作r ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记作q ,有序数对(r ,q )叫做点M的极坐标一般情况下,约定r 02极坐标系与直角坐标系的互化直角坐标化极坐标:xr cosq ,yr sinq ;极坐标化直角坐标:,3参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy,把坐标x,y表示为第三个变量t的函数,如果对于t的每一个值(atb),式所确定的点M(x,y)都在一条曲线上;而这条曲线上任意一点M(x,y),都可由t的某个值通过式得到,则称式为该曲线的参数方程,其中t称为参数4参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程,需要
2、根据其结构特征,选取适当的消参方法常见的消参方法有:代入消元法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法等把曲线C的普通方程F(x,y)0化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性要注意方程中的参数的变化范围5直线、圆、椭圆的参数方程(1)经过一定点P0(x0,y0),倾斜角为a 的直线l的参数方程为(t为参数);(2)直线参数方程的一般形式为(t为参数);(3)圆的参数方程为(q 为参数);(4)椭圆的参数方程为(q 为参数)【复习要求】1理解坐标系的作用2能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化3了解参数方程4能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程,并会简单的应用【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上(2)点P的直角坐标为,则点P的极坐标为_(限定0q 2p)(3)点P的极坐标为,则点P的直角坐标为_解:(1)因为,所以点是在曲线上(2)根据r 2x2y2,得r 2,又点P在第四象限,所以,所以点P的极坐标为(3)根据xr cosq ,yr sinq ,得,所以点P的
3、直角坐标为例2 (1)圆r 2(cosq sinq )的半径为_(2)直线与圆r 2sinq 交与A,B两点,则|AB|_解:(1)由r 2(cosq sinq ),得r 22r (cosq sinq ),所以,x2y22x2y,即(x1)2(y1)22,所以圆r 2(cosq sinq )的半径为(2)将直线与圆r 2sinq 化为直角坐标方程,得由得,即,由r 2sinq ,变形为r 22r sinq ,得x2y22y,即x2(y1)21,因为圆的半径为1,圆心到直线的距离为,所以评述:(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题;(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定q 的大小,如例1(2),否则,极坐标不唯一;(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识如:过极点,倾斜角为a 的直线:q a (r R)或写成q a 及q a p过A(a,a)垂直于极轴的直线:r cosq acosa 以极点O为圆心,a为半径的圆(a0):r a若O(0,0),A(2a,0),以OA为直径的圆:r 2acosq 若O(0,0
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