运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价
15页1、运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价 学 校 贺州学院 姓 名 黎于华 学 号 1310515013 班 级 13 统计 指导老师 韦师 运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价 摘 要 改革开放以来, 随着经济的高速发展, 我国经济取得了举世瞩目的较快增长。 然而, 不同地区之间的水平和支出结构仍存在较大差异。本文通过选取反映城市 发展的大部分主要指标,运用主成分分析方法对全国 30 个大城市进行比较和分 析, 用以反映出各地区经济综合发展方面存在的差异。通过选取主成分对经济指 标的累积贡献率保证在 85以上的变差信息体现在综合评分中,使评价结果真 实可靠。 关键字:关键字:主成分分析;贡献率;经济指标评价 1、研究背景 近年来全国各大城市都在飞速发展,但是全国各地的发展存在较大差异,各 地的人们生活水平直接反映了该地区的经济发展水平。 针对这个问题我们找到一 组我国大城市的数据,并运用主成分分析法对这些数据进行了分析,以了解各地 区的经济发展水平。每个城市的经济发展结构都不同,那我们如何评价各大城市 的发展成果呢?全国各地人均消费水平的统计至少应该有两方面的意义
2、。其一, 是真实反映各地老百姓的生活水平;其二,了解各地区的经济发展水平,为相关 部门制定政策作参考价值。主成分分析是考察多个定量(数值)变量间相关性的 一种多元统计方法。它是研究如何通过少数几个主分量(即原始变量线性组合) 来解释多变量的方差协方差结构。具体地说,是导出少数几个主分量,使它 们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此间不相关。主成分分析常被用来寻找 判断某种事物或现象的综合指标,并给综合指标所蕴藏的信息以恰当解释,以便 更深刻地解释事物内在的规律。 2.模型的建立 2.12.1、主成分分析的基本思想、主成分分析的基本思想 主成分分析也称主分量分析,旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几 个综合指标。主成分的数学模型一般为假设有 n 个样本,每个样本测得 p 项指标 (p1;另一种是累计贡献率0.8。 这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性, 评价结果 比较符合实际情况;同时,主成份分量表现为原变量的线性组合,如果最后综合 指标包括所有分量,则可以得到精确的结果,百分之百地保留原变量提供的变差 信息,即使舍弃若干分量,也可以保证将 85以上的变差信息体现
3、在综合评分 中,使评价结果真实可靠。是在实际中应用得比较广的一种方法。综上所述,该 方法的优点主要体现在两个方面:1.权重确定的客观性;2.评价结果真实可靠。 2.22.2、主成分分析的基本原理、主成分分析的基本原理 假定有 n 个样本,每个样本共有 p 个变量,构成一个 np 阶的数据矩阵 npnn p p xxx xxx xxx X 21 22221 11211 综合指标如何选取呢?这些综合指标要想尽可能多地反映原指标的信息, 综 合指标的表达式中要含有原指标,那么我们通常是取原指标的线性组合,适当调 整它们的系数,使综合指标间相互独立且代表性好。 1、定义:记 x1,x2,xP 为原变量指标,Z1,2,3,(mp) 为新变量指标 pmpmmm pp pp xlxlxlz xlxlxlz xlxlxlz 2211 22221212 12121111 可以看出, 新指标对原指标有多个线性组合, 新指标对哪个原指标反映的多, 哪个少,取决于它的系数。 2、计算特征值与特征向量。解特征方程0RI,求出特征值,并使 其按大小顺序排列 ; 0 21 p 3、计算主成分贡献率及累计贡献率 贡献
4、率 ),2 ,1( 1 pi p k k i 累计贡献率 ),2 ,1( 1 1 pi p k k i k k 一般取累计贡献率达85%95%的特征值 m , 21 所对应的第1、 第2、 、 第 m(mp)个主成分。 4、计算主成分载荷 ),2 ,1,(),(pjiexzpl ijijiij 在主成分之间不相关时, 主成分载荷就是主成分 zi 与变量 xj 之间的相关系 数(在数学上可以证明)。 5、各主成分的得分 得到各主成分的载荷以后,可以按照计算各主成分的得分 pmpmmm pp pp xlxlxlz xlxlxlz xlxlxlz 2211 22221212 12121111 nmnn m m zzz zzz zzz Z 21 22221 11211 每个地区的综合评价值为:对各个主成分进行加权求和。权重为每个主成分 方差的贡献率。 3、模型的求解 3.13.1、数据来源、数据来源 定义:x1 年末总人口(万人) ;x2 地区生产总值(当年价格亿元) ;x3 地方 财政预算内收人(万元) ;x4 地方财政预算内支出(万元) ;x5 固定资产投资总 额 (万元) ; x6 城乡
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