数学建模——合理开挖土地问题(附matlab源程序)

1、本页只是说明，论文从第二页开始，下载后请删除本页即可:论文内容：关于合理开挖土地问题的数学建模竞赛论文（含Matlab源程序）特别申明：本论文版权归百度文库账号dxzsk同学所有，仅限个人下载学习使用，其他人不得转载分享，侵权必究。以下是本论文原始题目：合理开挖土地问题：A市是一个山区城市,向山要地是A市发展的一个必然的选择,但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度,从而使总的土石方量最小,就是一个十分有意义的课题.A市某工厂为了在一片长度为1500米,宽度为900米的山地之中,开挖出一个800米600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基,前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件）.请你考虑以下几个问题：问题（1）：用附件中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；问题（2）：从什么地方,什么海拔高度平整一块800米600米的连片土地能使总的土石方量最小?问题（3）：如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块,要求各地块的长、宽不少于60米,又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖,能使总的土石方量最小?提示：在平整土地的过程中,有

2、些地方是要挖山的,但有些地方是要填土的,假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3.2013*大学金水节第五届研究生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 11 月 01 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013年*大学金水节第五届研究生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评

3、阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 关于合理开挖土地问题的数学模型求解摘要随着山区城市的发展，向山要地开发成为了一种必然的选择。为了更好的确定平整地的起始点，做到节约成本的目的，我们根据几个决定性因素利用网格优化建立了相关的模型。主要讨论如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度，从而使总的土石方量最小，使得在实际工程中达到最可靠，最节约成本。采用MATLAB软件模拟功能，画出了该工厂的这片土地的三维图形与等高线图，并对山地地形作出分析。采用二重积分的集合意义，即二重积分是曲顶柱体的体积，利用这个思想，进行合理假设，对曲顶柱体进行拆分，分成多个细小的小区顶柱体，再对这些小曲顶柱体的体积求和，并考虑挖土，和填土的费用代价，求出土石方量最小时的海拔高度。在不同的底面投影位置下，分别求出对应的费用消耗，求出最小费用，从而决定从什么地方，什么海拔高度平整一块固定大小的长方形连片土地，能使总的土石方量最小，使工程施工经济上达到最优。关键词： 合理开挖土地

4、最优 土石方量最小一、问题提出及其分析1. 提出问题A市是一个山区城市，向山要地是A市发展的一个必然的选择，但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度，从而使总的土石方量最小，就是一个十分有意义的课题.A市某工厂为了在一片长度为1500米，宽度为900米的山地之中，开挖出一个800米600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基，前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件）。请你考虑以下几个问题：问题一：用附件中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图；问题二：从什么地方，什么海拔高度平整一块800米600米的连片土地能使总的土石方量最小？2. 问题分析1) 问题一：我们可以利用MATLAB软件直接调用surf函数和contour函数分别 画出这片土地的三维图形和等高线图。2) 问题二：考虑要平整一块800米600米的连片土地，且要使土石方量最小， 我们需要确定这块800米600米的连片土地的底面投影区域，以及海拔高度，使得其土石方量最小。 连片土地底面投影区域的确定：分析一：对于指定底面是800米600米大小区域内，取海拔的高度做方

5、差，如果方差最小，说明海拔都比较接近平均值，就是说明这片区域比较平坦，挖土或填土的土石方量近似最小。我们可以通过这个思路解决问题，即为求出满足海拔方差值最小的底面位置的问题。分析二：让底面投影区域在长度为1500米，宽度为900米内枚举，此时计算出对应的土石方量最小的是，在这些所有的最小值中取得最小值的那块投影区域即为所求。我们采用此种方法求解。 连片土地海拔高度的确定：在平整土地的过程中，凸出的地方是要挖土的，凹下的地方是可以填土的，这样挖下来的土可以填充到凹下去的部分。通过计算体积的方式计算挖土和填土大小，求出最小值对应的海拔高度，即可确定平整连片土地的具体高度。二、问题的假设1、在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的，假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3。2、假设除了挖土和填土以外，在平整土地的过程中其他作业（如登高）产生的费用都与800米600米的连片土地所处的位置方向和海拔高度均无关。这样我们只需考虑挖土和填土的土石方量及费用，据此来考虑连片土地所处的位置方向和海拔高度。3、假设计算体积的过程中，分割的小曲顶柱体不能达到无穷

6、小，而产生的误差忽略不计。实际计算中我们取一个很小的步长去划分，使其划分尽可能的小，产生的误差忽略不计。三、 符号说明符号说明L平整连片土地块的长W平整连片土地块的宽D平整连片土地块的底面所在闭区域平整连片土地块底面划分的子区域子区域的面积平整土地所需的挖土量平整土地所需的填土量C平整土地挖土和填土所需要的总费用四、模型的建立与求解4.1. 问题一求解1利用MATLAB软件的三维绘图功能，画出工厂这片土地的三维图形如下：图表4.1.1山地的三维图形2，这片土地的等高线图如下：图表4.1.2山地的三维等高线图图表4.1.3山地的二维等高线图4.2. 问题二模型建立与求解4.2.1. 平整块的海拔高度的确定通过土石方量费用最小的原则，确定平整土地海拔的开挖高度。平整土地快所对应的的底面区域记为D，显然D是一个800米600米的矩形区域。设顶部海拔高度是一个非负连续函数，。假设 D的位置已经确定，下面我们来讨论在什么样的海拔高度下，土石方量费用最小。考虑底面区域D对应的山体是一个曲顶柱体，把区域D分成个小区域，为了简化运算，我们分成个等大的区域个等大的区域，每个区域都是边长为的正方形。再分别

7、以这些小区域的边界为准线，作母线平行于轴的柱面，这些柱面将原曲顶柱体分成个细的曲顶柱体。每个区域上任取一点。当很大时，所分的区域很小，边长的值很小，每个区域对应的海拔高度z可以近似为一个相同的值，记所有小区域的最小海拔高度为，最大海拔高度为设在平整块连片土地建在海拔高度为处。当小区域所对应的海拔高度时，说明这块区域需要挖土，挖土量为，这里表示的面积。时，说明这块区域需要填土，填土量为，总的挖土量，其中为满足条件的小区域的个数。总的填土量， ，其中为满足条件的小区域的个数。当，挖土量大于填土量，这样挖出来的土足够填充凹下的山地。总的土石方量费用为：当，挖土量小于填土量，这样挖出来的土不足以填充凹下的山地。需要从别的地方挖土来填充。总的土石方量费用为：因此如果让平整块的底面投影区域取遍所有可能的值，再根据上述思想求解此底面投影区域对应土石方量费用最小的开挖海拔高度。按照最小的对应的底部和开挖海拔高度来开挖，所得平整的连片土地能使总的土石方量最小。4.2.2. 平整块的底面投影区域的确定将平整块区域投影到底面（XOY平面），确定开挖方向，即要确定平整块的底面位置。显然底面是800米600米的

8、矩形，假设矩形的四个顶点分别为A、B、C、D。山地是长度为1500米，宽度为900米的矩形区域，因此平整块底面投影矩形ABCD可以在1500900的区域范围内任意移动，四个顶点不能超出这个范围我们要取遍所有可能的位置，必须枚举所有的可能值。设矩形ABCD的边长为AB=W=600，AC=L=800，且各点坐标位置也已经确定，设各顶点的坐标分别为A（，）、B（，）、C（，）、D（，）。设AB边的中点为E，CD边的中点为F，那么唯一确定了线段EF。OxyADBCEF由中点公式，中点E，F的坐标分别可以表示为E（，），F（，），且EF的边长为EF=AC=800,因此只要矩形ABCD的位置和大小确定，那么EF的大小和位置就唯一确定。反过来如果EF的位置和大小确定了（E,F分别为短边的中点），那么矩形ABCD的位置和大小也唯一确定。下面我们分别说明矩形四个顶点坐标，以及四个边的直线方程计算方法。设EF=800，E、F两点的坐标分别为E（，）、F（，），为了使计算不重复，保证EF的唯一性，我们不妨设 ，且当时, ,若EF所在直线的斜率存在，设为。当时，斜率存在，分以下四种情况讨论：(1)当,即EF平行于y轴时此时矩形如下图所示：xyOADBCEF此时，四条边对应的直线方程分别为AB：，BC：，CD：，AD：，四个顶点的坐标分别为：A（，）, B（，），C（，）, D（，）矩形ABCD的充分必要条件是：(2)当时，xyOADBCEF此时，四条边对应的直线方程分别为AB: ,即： CD: ,即：AD：

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