建坐标系解立体几何(含解析)

1、立体几何建坐标系1. 如图,四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2,CD=SD=1. ()证明:SD平面SAB;()求AB与平面SBC所成的角的大小. 2. 如图,在四面体ABOC中, OCOA, OCOB, AOB=120,且OA=OB=OC=1. ()设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ. 证明:PQOA;()求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 3.如图, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=4,AA1=,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEA1E. ()证明:平面A1DE平面ACC1A1;()求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值. 4.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1, AC=AA1=,ABC=60. ()证明:ABA1C;()求二面角A-A1C-B的大小. 5.四棱锥A-BCDE中, 底面BCDE为矩形, 侧面ABC底面BCDE, BC=2, CD=, AB=AC. ()证明:ADCE;()设侧面ABC为等边三角形, 求二面角C-AD-E的大小. 6.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有

2、棱长都为2, D为CC1中点. ()求证:AB1平面A1BD;()求二面角A-A1D-B的大小. 7.如图, 在三棱锥V-ABC中, VC底面ABC, ACBC, D是AB的中点, 且AC=BC=, VDC=. ()求证:平面VAB平面VCD;()试确定的值, 使得直线BC与平面VAB所成的角为. 8.如图, BCD与MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD平面BCD, AB平面BCD, AB=2. ()求直线AM与平面BCD所成角的大小;()求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. 9.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PD平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90. ()求证:PCBC;()求点A到平面PBC的距离. 10.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D为BB1的中点, E为AB1上的一点, AE=3EB1. ()证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;()设异面直线AB1与CD的夹角为45, 求二面角A1-AC1-B1的大小. 11.如图, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为矩形, SD底面

3、ABCD, AD=, DC=SD=2. 点M在侧棱SC上, ABM=60. ()证明:M是侧棱SC的中点;()求二面角S-AM-B的大小. 12.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABAC, D、E分别为AA1、B1C的中点, DE平面BCC1. ()证明:AB=AC;()设二面角A-BD-C为60, 求B1C与平面BCD所成的角的大小. 13.如图, 四棱锥P-ABCD的底面是正方形, PD底面ABCD,点E在棱PB上. ()求证:平面AEC平面PDB;()当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小. 14. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA平面ABCD, PA=AD=4, AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M. ()求证:平面ABM平面PCD;()求直线PC与平面ABM所成的角;()求点O到平面ABM的距离. 15.如图, 四棱锥S-ABCD的底面是正方形, SD平面ABCD, SD=2a, AD=, 点E是SD上的点, 且DE=(00, y0, z0. ()=(x-2, y-2, z), =(x,

4、y-2, z), =(x-1, y, z), 由|=|得=, 故x=1. 由|=1得y2+z2=1, 又由|=2得x2+(y-2)2+z2=4, 即y2+z2-4y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S, =, =0, =0. 故DSAS, DSBS, 又ASBS=S, 所以SD平面SAB. (6分)()设平面SBC的法向量a=(m, n, p), 则a, a, a=0, a=0. 又=(0, 2, 0), 故(9分)取p=2得a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos=. 故AB与平面SBC所成的角为arcsin. (12分)2.解法一:()在平面OAB内作ONOA交AB于N, 连结CN. 在AOB中, AOB=120且OA=OB, OAB=OBA=30. 在RtAON中, OAN=30, ON=AN. 在ONB中, NOB=120-90=30=OBN, NB=ON=AN. 又AB=3AQ, Q为AN的中点. 在CAN中, P, Q分别为AC, AN的中点, PQCN. 由OAOC, OAON知:OA平面CON. 又NC平面CON, OACN. 由PQCN,

5、知OAPQ. ()连结PN, PO. 由OCOA, OCOB知:OC平面OAB. 又ON平面OAB, OCON. 又由ONOA知:ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影. 在等腰RtCOA中, P为AC的中点, ACOP. 根据三垂线定理, 知:ACNP. OPN为二面角O-AC-B的平面角. 在等腰RtCOA中, OC=OA=1, OP=. 在RtAON中, ON=OAtan 30=, 在RtPON中, PN=, cosOPN=. 解法二:()取O为坐标原点, 以OA, OC所在的直线为x轴, z轴, 建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示). 则A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B. P为AC的中点, P. =, 又由已知, 可得=. 又=+=. =-=, =(1, 0, 0)=0. 故. ()记平面ABC的法向量n=(n1, n2, n3), 则由n, n, 且=(1, 0, -1), 得故可取n=(1, , 1). 又平面OAC的法向量为e=(0, 1, 0). cos=. 二面角O-AC-B的平面角是锐角, 记为, 则cos =. 3.()如图所示,

6、由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1平面ABC. 又DE平面ABC, 所以DEAA1. 而DEA1E, AA1A1E=A1, 所以DE平面ACC1A1. 又DE平面A1DE, 故平面A1DE平面ACC1A1. ()解法一:过点A作AF垂直A1E于点F, 连结DF. 由()知, 平面A1DE平面ACC1A1, 所以AF平面A1DE. 故ADF是直线AD和平面A1DE所成的角. 因为DE平面ACC1A1, 所以DEAC. 而ABC是边长为4的正三角形, 于是AD=2, AE=4-CE=4-CD=3. 又因为AA1=, 所以A1E=4, AF=,sinADF=. 即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为. 解法二:如图所示, 设O是AC的中点, 以O为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是A(2, 0, 0), A1(2, 0, ), D(-1, , 0), E(-1, 0, 0). 易知=(-3, , -), =(0, -, 0), =(-3, , 0). 设n=(x, y, z)是平面A1DE的一个法向量, 则解得x=-z, y=0. 故可取n=(, 0, -3). 于

7、是cos=-. 由此即知, 直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为. 4.解法一:()证明:三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, ABAA1. 在ABC中, AB=1, AC=, ABC=60, 由正弦定理得ACB=30, BAC=90, 即ABAC. AB平面ACC1A1, 又A1C平面ACC1A1, ABA1C. ()如图, 作ADA1C交A1C于D点, 连结BD, 由三垂线定理知BDA1C, ADB为二面角A-A1C-B的平面角. 在RtAA1C中, AD=, 在RtBAD中, tanADB=, ADB=arctan, 即二面角A-A1C-B的大小为arctan. 解法二:()证明:三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, AA1AB, AA1AC. 在ABC中, AB=1, AC=, ABC=60. 由正弦定理得ACB=30, BAC=90, 即ABAC. 如图, 建立空间直角坐标系, 则A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, , 0), A1(0, 0, ), =(1, 0, 0), =(0, , -). =10+0+0(-)=0, ABA1C. ()如图, 可取m=(1, 0, 0)为平面AA1C的法向量, 设平面A1BC的法向量为n=(l, m, n), 则n=0, n=0, 又=(-1, , 0), l=m, n=m. 不妨取m=1, 则n=(, 1, 1). cos=, 二面角A-

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