专题28 解直角三角形

1、解直角三角形一、选择题1(2016福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）A（sin，sin）B（cos，cos）C（cos，sin）D（sin，cos）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质【专题】计算题；三角形【分析】过P作PQOB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标【解答】解：过P作PQOB，交OB于点Q，在RtOPQ中，OP=1，POQ=，sin=，cos=，即PQ=sin，OQ=cos，则P的坐标为（cos，sin），故选C【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键2(2016云南)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A米2B米2C（4+）米2D（4+4tan）米2【考点】解直角三角形的应用【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结

2、果【解答】解：在RtABC中，BC=ACtan=4tan（米），AC+BC=4+4tan（米），地毯的面积至少需要1（4+4tan）=4+tan（米2）；故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键3（2016四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡AB的坡度是10B斜坡AB的坡度是tan10CAC=1.2tan10米DAB=米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正确；故选：B4（2016山东省聊城市，3分）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33，测得圆心O的仰角为21，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan330.65，tan210.38）（）A169米 B204米 C240

3、米 D407米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】过C作CDAB于D，在RtACD中，求得AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，求得OD=CDtanBCO=CDtan21，列方程即可得到结论【解答】解：过C作CDAB于D，在RtACD中，AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，OD=CDtanBCO=CDtan21，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33CDtan21=55m，CD=204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m故选B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键5（2016.山东省泰安市，3分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（）中

4、国%教&*育出版网A22.48B41.68C43.16D55.63【分析】过点P作PAMN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PAMN于点A，MN=302=60（海里），MNC=90，CPN=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，w#ww.zzstep%.comMN=PN=60（海里），CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68（海里）www.zzs*&te#故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6（2016江苏苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为（）A2m B2m C（22）m D（22）m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可【解答】解：在

5、RtABD中，sinABD=，AD=4sin60=2（m），在RtACD中，sinACD=，AC=2（m）故选B7（2016辽宁沈阳）如图，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则BC的长是（）A B4 C8D4【考点】解直角三角形【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可【解答】解：在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，cosB=，即cos30=，BC=8=4；故选：D【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握二、填空题1（2016黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45的C处，则该船行驶的速度为海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQBC，BAQ=60，CAQ=45，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45的C处，由题意得：A

6、B=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，BAQ=60，B=9060=30，AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，CAQ=45，CQ=AQ=40，BC=40+40=3x，解得：x=即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键2（2016湖北十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EFMN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向，此时，其他同学测得CD=10米请根据这些数据求出河的宽度为（30+10）米（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】如图作BHEF，CKMN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30=列出方程即可解决问题【解答】解：如图作BHEF，CKMN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，CKA=90，CAK=45，

7、CAK=ACK=45，AK=CK=x，BK=HC=AKAB=x30，HD=x30+10=x20，在RTBHD中，BHD=30，HBD=30，tan30=，=，解得x=30+10河的宽度为（30+10）米【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型3. （2016年浙江省宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1m（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】首先过点A作AEDC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在RtBAE中，BAE=60，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案【解答】解：如图，过点A作AEDC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，在RtBAE中，BAE=60，BE=AEtan60=10（m），BC=CE+BE=10+1（m）旗杆高BC为10+1m故答案为：10+1【点评】本题考查仰角的定义注意能

8、借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键4（2016山东枣庄）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73）第14题图【答案】2.9.考点：解直角三角形.5（2016上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30，测得底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米（精确到1米，参考数据：1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度【解答】解：由题意可得：tan30=，解得：BD=30，tan60=，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120208（m），故答案为：208【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6(2016大连，15，3分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考数据：sin550.8，cos550.6，tan551.4）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】作PCAB于C，先解RtPAC，得出PC=PA=9，再解RtPBC，得出PB=11【解答】解：如图，作PCAB于C，在RtPAC中，PA=18，A=30，PC=PA=18=9，在RtPBC

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