2018-2019学年北京师大附中高三（下）月考数学试题（文科）（五）（4月份）（解析版）

1、2018-2019学年北京师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，即.故B正确.考点：集合间的关系.2.已知向量，且，则实数的值为A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可.【详解】因为，且，所以，解得，故选C.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3.已知数列为等差数列，且，则等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，利用等差数列的性质可得，根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】因为数列为等差数列，且，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及诱导公式的应用，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.4.钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“好货”“不便宜”

2、，反之不成立即可判断出结论【详解】“好货”“不便宜”，反之不成立“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法和推理能力与计算能力，属于基础题5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知：该几何体为个圆柱和半个圆锥组成，所以该组合体体积为： 6.已知中，, ,为AB边上的中点，则A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7.记函数的定义域为D，在区间上随机取一个实数x，则的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数f（x）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可【详解】函数

3、的定义域为：，则在区间上随机取一个实数x，的概率是故选：A【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题8.我国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（modm），例如102（mod4）现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A. 13B. 11C. 15D. 8【答案】A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。【详解】：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：，输出的值，故选A。【点睛】：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知，则_【答案】【解析】【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2a的值【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题10.已知是定义在R上的周期为4的偶函数，当时，则_【答案】【解析】【分析】利用函

4、数的周期性和奇偶性得f（5）=f（1）=f（1），由此能求出结果【详解】是定义在R上的周期为4的偶函数，当时，故答案为：【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性等基础知识求函数值的求法，考查函数与方程思想，是基础题11.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆与双曲线有共同的焦点，利用双曲线的离心率为2，可得到的关系式，求解，即可得到双曲线方程.【详解】因为椭圆与双曲线有共同的焦点，由，可得，即，因为双曲线的离心率为，则，所以双曲线的方程为，故答案为.【点睛】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.12.已知函数在区间上单调递减，且为偶函数，则满足的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数在区间上单调递减，结合奇偶性可得等价于，从而可得结果.【详解】根据题意，函数在区间上单调递减,且为偶函数，则，解可得或或，即的取值范围为，故答

5、案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据函数单调性列不等式求解.13.过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设斜率为，方程，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.【详解】圆化为，圆心，半径，点在圆内，当斜率存在时，设斜率为，方程，即，圆心到直线距离为，的方程当斜率不存在时，直线也满足，的方程或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.14.设数列的前n项和为，且，若，则n的最大值为_【答案】63【解析】【分析】由，得，故，得的偶数项的通项公式，再利用等差数列的

6、求和公式即可得n为奇数和n为偶数时的表达式，进而求解n得出结论【详解】由数列的前n项和为，又，故，则的偶数项成等差数列，则,（n为偶数）又， 为等差数列，首项为3，公差为4，当n为偶数时，设数列的前n项和为，可得，则 +若，无解舍去当n为奇数时， -(=,又所以解n又则n的最大值为63，故答案为：63【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.中的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角的值.【答案】（1）.（2）2, ，.【解析】试题分析：（1）利用余弦定理角化边可得，整理得，故.（2）由（1）的结论可得，则，其中，故当时，的最大值为2，此时.试题解析：（1），整理得，即，因为，则.（2）由（1）知，则，于是，由，则，故当时，的最大值为2，此时.16.在等差数列和等比数列中，求和的通项公式；求数列的前n项和【答案】（），（）【解析】【分析】利用已知条件列出方程组，求出数列的公差与公比，然后求解和的通项公式；化简数列的通项公式，利用分组求和求解即

7、可【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q依题意，得解得或舍去所以，因为，所以【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力，是基础题17.已知函数当时，求的单调递减区间；对任意的，及任意的，恒有成立，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)先求导数，再求导函数小于零不等式得单调递减区间；(2)先化简不等式为，再利用导数确定函数在1,2上单调性，得最值，再分离变量，根据对应函数最值确定实数的取值范围.详解：（1）,，的递减区间为.（2），由知 在上递减，对恒成立，.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18.哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩满分150分，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直

8、方图填充完整；根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度不要求计算出具体值，给出结论即可；现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率【答案】（I）见解析.（）乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.（III）. 【解析】分析：（I）根据中位数的定义可得甲、乙两位同学成绩的中位数,由茎叶图可得频数，由频数得频率，从而可得纵坐标，进而可补全直方图；（）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中；（III）利用列举法，甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩的基本事件有个，其中2个成绩分属不同同学的事件有个，利用古典概型概率公式可得结果.详解：（I）甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128， （II）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 . （III）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a,b,乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c,d,e现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(a,b),(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有： (a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)共6种因此事件A发生的概率P(A)=.点睛：本题主要考查茎叶图与直方图的性质、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件

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