河南省六市2019届高三第一次联考数学（理）试题（含精品解析）

1、1 河南省六市河南省六市 20192019 届高三第一次联考数学（理）试题届高三第一次联考数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得：，则，故选 C. 2.设复数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【详解】解：， 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3.的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经缉古算 经等 10 部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部产生于魏 晋南北朝时期某中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的 2 部名 著中至少有 1 部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( ) 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：根据古典概型概率公式求

2、解 详解：从 10 部专著中选择 2 部的所有结果有种 设“所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件 A，则 A 包含的基本事件个数为 由古典概型概率公式可得 故选 A 点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和 事件 A 包含的基本事件的个数，然后按照公式求解 5.已知函数，则“”是“函数为奇函数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：若，则， 则 ，则，即是奇函数，即充分性成立， 若函数是奇函数， 则满足，即，则，即必要性成立， 则“”是“函数为奇函数”的充要条件， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数 函数的运算性质是解决本题的关键 3 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是棱

3、长为 4 的正方体截去一个 圆柱体，结合图中数据求出它的表面积 【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为 4 的正方体，截去一个 圆柱体，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的表面积为 故选：D 【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题 7.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小 4 详解：， ， 故选 A 点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可 得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如 0 或 1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结 论 8.将函数图象向左平移 个单位后，得到函数的图象关于点 对称，则函数在上的最小值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 将函数向左平移 个单位后，得到函数解析式为： 图象关于点对称 则对称中心在函数图象上，可得： 解得， ， ， 则函数在上的最小值为 故选 5 9.已知变量 x、t 满足约束条件，则目标函数的最大值是 A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 先

4、画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时 z 最大，求出 z 的最大 值即可 【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由得， 显然直线过时 z 最大， z 的最大值是 6， 故选：D 【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题 10.在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 2D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知式子和正弦定理可得 B，再由余弦定理和基本不等式可得 ac16，代入三角形的面积公式可得最大 值 6 【详解】在ABC 中， （2ac）cosBbcosC， （2sinAsinC）cosBsinBcosC， 2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA， 约掉 sinA 可得 cosB ，即 B ， 由余弦定理可得 16a2+c22accosBa2+c2ac2acac， ac16，当且仅当 ac 时取等号， ABC 的面积 S acsinBac 故选：A 【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题 1

5、1.抛物线的焦点为 ，设，是抛物线上的两个动点，则的 最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由抛物线定义得所以由得,因此 所以，选 D. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物 线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为， 则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦 长公式可由数形结合的方法类似地得到 12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且， 则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 7 【分析】 构造函数，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可 【详解】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数， 令，则， 可知当时，是单调减函数， 并且，即， 时，函数是单调增函数， 则， 则不等式的解集就是的解集， 即， 故不等式的解集为： 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知向量， 与 的夹角

6、为，若，则 在 方向上的投影为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据 的坐标可求出，进而求出，从而可求出，从而得出 在 方向上的投影为 【详解】解：，的夹角为； ； ； ，且； 在 方向上的投影为： 故答案为： 【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角 8 的余弦公式 14.在的展开式中，常数项为_ 【答案】 【解析】 由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时， ，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为 ，当，常数项为 1，所以展开式中的常数项 15.已知双曲线，焦距为 2c，直线 l 经过点和，若到直线 l 的距离为 ，则离心率为_ 【答案】或 【解析】 【分析】 求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，化简整理即可 得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍 【详解】解：直线 l 的方程为，即为， ，到直线 l 的距离为， 可得：， 即有， 即，即， ， 由于，则， 解得，或 由于，即，即有，即有， 则或 故答案为：或 9 【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率

7、的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查 运算能力，属于中档题和易错题 16.如图，是等腰直角三角形，斜边，D 为直角边 BC 上一点 不含端点 ，将沿直线 AD 折叠至的位置，使得在平面 ABD 外，若在平面 ABD 上的射影 H 恰好在线段 AB 上，则 AH 的取 值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 推导出，平面 ABC，从 而，当时，B 与 D 重合，当时，由此能求出 AH 的取 值范围 【详解】解：在等腰中，斜边，D 为直角边 BC 上的一点， ， 将沿直 AD 折叠至的位置，使得点在平面 ABD 外， 且点在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设， ， 平面 ABC， ，当时，B 与 D 重合， 当时， 为直角边 BC 上的一点， ， 10 的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查 运算求解能力，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.设数列前 n 项和为，且满足， 试确定 r 的值，使为等

8、比数列，并求数列的通项公式； 在 的条件下，设，求数列的前 n 项和 【答案】 （）；（）. 【解析】 试题分析：（）由已知令 n=1 即可求得；当 n2 时，与已知式作 差得，即从而可知欲使an为等比数列，则，从而可求出 r 的值， 进而可写出数列an的通项公式； （）由（）可得，从而，按 n 小于 6 和大于等于 6 讨论可求出数列的前 n 项和 Tn 试题解析：（）解：当 n = 1 时，1 分 当 n2 时，与已知式作差得，即 欲使an为等比数列，则，又，5 分 故数列an是以为首项，2 为公比的等比数列，所以6 分 （）解：，若，9 分 若,，12 分 考点：1等比数列的概念及通项公式；2等差数列的前 n 项和. 18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，48，现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进 行睡眠时间的调查 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ 11 若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的数学期望和方差；

9、设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率 【答案】 （）甲、乙、丙三个部门分别抽取 2、3、2 人；（）详见解析； 【解析】 【分析】 利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人 由题意得 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列、数 学期望和方差 基本事件总数，事件 A 包含的基本事件个数，由此能求出事件 A 发生的 概率 【详解】解： 某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，48，32 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 应从甲部门的员工中抽取：人， 乙部门的员工中抽取：人， 丙部门的员工中抽取：人 由题意得 X 的可能取值为 0，1，2，3， ， ， ， ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 12 ， 抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足， 现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 基本事件总数， A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ， 则事件 A 包含的基本事件个数， 事件 A 发生的概率 【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古 典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.已知五边形 ABECD 有一个直角梯形 ABCD 与一个等边三角形 BCE 构成，如图 1 所示，且 ，将梯形 ABCD 沿着 BC 折起，形成如图 2 所示的几何体，且平面 BEC 求证：平面平面 ADE； 求二面角的平面角的余弦值 【答案】 （1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】 延长 AD，BC 相交于 F，连接 EF，证明面

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