高中数学《2.3.1 双曲线及其标准方程》课件 新人教a版选修2-1

1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题,2.3.1 双曲线及其标准方程,2.3 双曲线,【课标要求】,【核心扫描】,用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程(重点) 与双曲线定义有关的应用问题(难点),1,2,1,2,双曲线的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_叫做双曲线的焦点， _叫做双曲线的焦距 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或 “常数为0”时，动点的轨迹是什么？,自学导引,1,差的绝对值,两个定点,两焦点间的距离,提示 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示,(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在 (3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线,双曲线的标准方程,2,a2b2,提示 如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不

2、一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上,对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a，当2a|F1F2|时，其轨迹不存在 (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上,名师点睛,1,(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离” 双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程 (2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a、b大小则不确定,2,(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上 (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为

3、Ax2By21(AB0)或进行分类讨论,题型一 求双曲线的标准方程,【例1】,规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法,求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a3，c4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，6)，(0，6)，经过点A(5，6) 解 (1)由题设知，a3，c4， 由c2a2b2得，b2c2a242327.,【变式1】,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积,题型二 双曲线定义的应用,【例2】,思路探索 (1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，则点M到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积,(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲

4、线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为6 或22. (2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2| 36232100. 在F1PF2中，由余弦定理得,规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca) (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,【变式2】,题型三 与双曲线有关的轨迹问题,【例3】,【题后反思】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程 解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1 (5，0)，半径r11；,【变式3】,圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5，0)，半径r24. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2|.,只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况,误区警示 忽略双曲线焦点位置致误,【示例】,答案 m|33,

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