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高考试题的探究（一）：多变量处理方法与策略

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常见问题

1、浅谈多变量问题的处理策略摘要：破解高考数学中多变量问题是一个难点.灵活换元-化二元归一元；主元思想-化主元为常元；审视结构-化主元为常元是破解此类问题的常用策略.高考数学时常出现多变量的综合问题。由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱对思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口。如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？下面，笔者结合模拟试题为例，探讨多变量问题的破解策略。1.问题的提出例1：已知函数（1）试判断函数的单调性；（2）若函数的图像在处的切线平行于轴,且是函数的图像上任意两个不同的点，设直线的斜率为，证明: (2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽4月卷第19题)2.灵活换元-化二元归一元破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式。由题意可知要证只需证即设令，则：单调递减，所以即故同理可证3.主元思想-化多元为单元破解此类问题，也可以借助于分析法，灵活地运用主元法，将其中某一个变量作为主变量，其余变量视作为字母常数来对待加以破解。要证，只需证即设令，

2、则：在单调递增，所以即故同理可证4.审视结构-化主元为常元破解此类问题，还可结合结构的具体特征构造函数，研究其单调性灵活地运用数形结合的数学思想达到解决问题的目的。整理，得：构造函数则，当时，在单调递增，不合题意；当时，在单调递增，单调递减，因，所以即上述方法是解决此类问题的常规策略，其思路是通过灵活换元、主元常元互换、合理构造等方法使函数的多变量问题转化为我们所熟悉的一元函数，最好利用导数的工具达到解决问题的目的。5.题型规律的活用例2：（2011年湖南高考数学文科第22题）设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（I）（略）。（2）的定义域为则若存在，使得则：即亦即而在上单调递增，故不存在，使得例3：已知函数,且.（1）试判断函数的导函数的单调性；（2）对任意的若求证：(2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽5月卷第20题)解：（1）令，则：而的判别式因，则因此，恒成立，所以，即单调递增，故函数的导函数的单调递增；（2）对任意的不妨设令则：因则：由第（1）问知所以故在单调递增，因则：故作为教师，我们在高三复习中多加分析，主动探究、归纳、提炼，让学生看清问题的本质属性，这对在有效的时间内提高复习质量，无疑是一种有益地尝试！参考文献：傅建红消元换元有奇效，终究导数显神功J.中学数学研究,2012年第8期:40.

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