高考专题复合函数的零点问题-高中数学(文)黄金100题--- 精校解析Word版
25页1、第22题 复合函数的零点问题I题源探究黄金母题【例1】设函数(为常数且) 若是的零点但不是的零点,则称为的二阶周期点,求函数的二阶周期点【答案】函数有且仅有两个二阶周期点, 【解析】 当时,由解得,由于,故不是的二阶周期点;当时,由解得因,故是的二阶周期点; 当时,由解得,因故不是的二阶周期点; 当时,解得 ,因, 故是的二阶周期点 综上:函数有且仅有两个二阶周期点, 精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点,难度较大新定义(信息题)是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义,写出复合函数的解析式,再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题II考场精彩真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数,在区间上, 其中集合,则方程的解的个数是 【答案】8【解析】由于 ,则需考虑 的情况在此范围内, 且 时,设 ,且 互质若 ,则由 ,可设 ,且 互质因此 ,则 ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 因此 不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图象,图中交
2、点除外其它交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,一次方程解的个数为8【例3】【2015年高考天津】已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是 ( )A B C D【答案】D【解析】由得,即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,综合性强,难度大【难点中心】解答此类问题,关键在于 “抽茧剥丝”,把复合函数问题转化为单函数问题,准确作出函数图象,利用图象解决问题III理论基础解题原理1复合函数定义:设,且函数的值域为定义域的子集,那么通过的联系而得到自变量的函数,称是的复合函数,记为2复合函数函数值计算的步骤:求函数值遵循“由内到外”的顺序,一层层求出函数值例如:已知,计算【解析】,3已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出的值例如:已知,若,求由上例可得,要想求出的根,则需要先将视
3、为整体,先求出的值,再求对应的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义4函数的零点:设的定义域为,若存在,使得,则称为的一个零点5复合函数零点问题的特点:考虑关于的方程根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于的方程,观察有几个的值使得等式成立;第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应,将的个数汇总后即为的根的个数IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,一般综合性强,难度大【技能方法】求解复合函数零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数,再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存在例如:若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(2,2)内有一个零点,则f(2)f(2)的值 ()A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定解答:若函数f(x)在(2,2)内有一个零点,该零点可分两种情况:(1)该零点
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