高考专题复合函数的零点问题-高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版

第22题 复合函数的零点问题I题源探究·黄金母题【例1】设函数（为常数且） 若是的零点但不是的零点，则称为的二阶周期点，求函数的二阶周期点【答案】函数有且仅有两个二阶周期点， 【解析】 当时，由解得，由于，故不是的二阶周期点；当时，由解得因，故是的二阶周期点； 当时，由解得，因故不是的二阶周期点； 当时，解得 ，因， 故是的二阶周期点 综上：函数有且仅有两个二阶周期点， 精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题II考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解析】由于 ，则需考虑 的情况在此范围内， 且 时，设 ，且 互质若 ，则由 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8【例3】【2015年高考天津】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 （ ）A B C D【答案】D【解析】由得，即，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知【命题意图】本题主要考查复合函数的零点本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题III理论基础·解题原理1复合函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为2复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值例如：已知，计算【解析】，3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值例如：已知，若，求由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义4函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点5复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大【技能方法】求解复合函数零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围【易错指导】1函数零点忽视单调性的存在例如：若函数f(x)在区间2，2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2，2)内有一个零点，则f(2)·f（2）的值 ()A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定解答：若函数f(x)在(2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(2)·f（2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(2)·f（2）>0，因此选D易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(2，2)内有一个零点时，f(2)·f（2）的符号不能确定2要注意对于在区间a，b上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在a，b上存在零点的充分条件，而不是必要条件注意以下几点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件 注意：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·V举一反三·触类旁通【例1】【2018四川绵阳一诊】函数fx满足fx+2=fx，且当-1x1时， fx=x若函数y=fx的图象与函数gx=logax（a>0，且a1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（ ）A4,5 B4,6 C5 D6【答案】C【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数fx是定义在R上的偶函数，且fx+2=f2-x，当x-2,0时，fx=22x-1，若在区间-2,6内关于x的方程fx-logax+2=0（a>0且a1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）A14,1 B1,4 C1,8 D8,+【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为fx=logax+2，x(-2,6)，所以只需画出y=f(x),y=loga(x+2)，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，y=loga(x+2)一定过（-1，0）点，当0<a<1时，显然只有一个交点，所以a>1，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4个零点，所以loga4<1,loga8<1,解得a>8，选D【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数如本题把方程fx-logax+2=0变形为y=f(x),y=loga(x+2)，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围【例3】【2018河南天一大联考】已知函数fx=12x+13,-2x0,1x+1,x>0,若关于x的方程fx-kx+2=0有3个实数根，则实数k的取值范围是（ ）A0,14 B0,13 C0,1 D0,12【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程fx-kx+2=0有3个，实数k的取值范围是(0,1-00-(-2)= 0,12，选D【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】AA（0，2），B（3，1），C（4， 0），则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，介于kABmkAC，可得m1故答案为：（，1）点睛:函数h（x）=f（x）mx+2有三个不同的零点，即为f（x）mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数，则函数的零点个数是（ ）A4 B5 C6 D7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）2t=0，【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知f(x)=xlnx ，若关于的方程f(x)2-(2m+1)f(x)+m2+m=0 恰好有4 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_【答案】e-1,e【解析】f(x)=x|lnx|，f(x)=-xlnx，0<x<1xlnx，x>1，f'(x)=1-lnxln2x，0<x<1lnx-1ln2x，x>1 当0<x<1或x>e时，f'(x)>0，当1<x<e时，f'(x)<0 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，+)上单调递增 可作出f(x)大致函数图象如图所示： 令f(x)=t，则当0<t<e时，方程f(x)=t有一解；当t=e时，方程f(x)=t有两解；t>e时，方程f(x)=t有三解 关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2+m=0，恰好有4个不相等实数根 关于t的方程t2-(2m+1)t+m2+m=0在(0，e)和(e，+)上各有一解 m2+m>0e2-(2m+1)e+m2+m<0，解得e-1<m<e，故答案为(e-1，e)【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数，若0abc，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为_【答案】（1，2），满足，即，故，故答案为【名师点睛】画出函数的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里的图象和计算得，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下，由反比例即可求出结果【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数， 的四个零点， ， ， ，且，则的值是_【答案】【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数，把方程的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前项和_【答案】【解析】当时，有，有 ，当时，有 ，有 当时，有