2007数学一真题答案解析
13页1、共享天空网友情提供2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当时,与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当时,有; 利用排除法知应选(B). (2) 曲线,渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为,所以为垂直渐近线;又 ,所以y=0为水平渐近线;进一步,=, = =,于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).(3) 如图,连续函数y=f(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f
2、(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义,知F(2)为半径是1的半圆面积:,F(3)是两个半圆面积之差:=,因此应选(C).(4) 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(A) 若存在,则f(0)=0. (B) 若存在,则f(0)=0. (C) 若存在,则存在. (D) 若存在,则存在 D 【分析】 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0.若存在,则,可见(C)也正确,故应选(D). 事实上,可举反例:在x=0处连续,且=存在,但在x=0处不可导。(5) 设函数f (x)在上具有二阶导数,且 令, 则下列结论正确的是(A) 若,则必收敛. (B) 若,则必发散. (C) 若,则必收敛. (D) 若,则必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(C); 设f(x)=, 则f(x)在上具有二阶导数,且,但
3、收敛,排除(B); 又若设,则f(x)在上具有二阶导数,且,但发散,排除(A). 故应选(D).(6) 设曲线具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式,再计算有: ; ; .故正确选项为(B). (7) 设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是(A) . (B) . (C) . (D) . A 【详解】用定义进行判定:令,得 .因线性无关,所以 又 , 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵, , 则A与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正
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