2007数学一真题答案解析

共享天空网友情提供2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当时，有； 利用排除法知应选(B). (2) 曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 D 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导。(5) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).(6) 设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： ; ; .故正确选项为(B). (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) . (B) . (C) . (D) . A 【详解】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵, , 则A与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) C 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度为(A) (B) (C ) . (D) A 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .二、填空题：(1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11) = 【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】 = (12) 设f(u,v)为二元可微函数，则=【详解】 利用复合函数求偏导公式，有= (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数.【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为(14) 设曲面，则= 【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=(15) 设矩阵, 则的秩为1.【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. 三、解答题：(1724小题，共86分. ) (17) (本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0. (18) (本题满分10分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所围成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.(19) (本题满分11分)设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】 构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，若，令, 则若，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 (20) (本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I) 证明：(II) 求y(x)的表达式.【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记y(x)=, 则代入微分方程有即 故有 即 (II) 由初始条件知， 于是根据递推关系式 有 故y(x)= =(21) (本题满分11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: .于是1° 当a=1时，有=2<3，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数.2° 当a =2时，有=3，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为: , 即与有唯一公共解: 为. (22) (本题满分11分)设3阶对称矩阵的特征值 是的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量(II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由 得 , 进一步 , ，故 ，从而是矩阵的属于特征值2的特征向量.因, 及的3个特征值 得B的3个特征值为.设为B的属于的两个线性无关的特征向量, 又为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此与正交, 即所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： ,其基础解系为: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.(II) 令=, 则 ，得 =. (23) (本题满分11分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【详解】 (I) .( II) 先求Z的分布函数: 当Z<0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度为= (24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 其中参数(0<<1)未知, 是来自总体X的简单随机样本, 是