【新步步高】2016-2017学年高二数学苏教版必修5课件：2.3.3 等比数列的前n项和（二）

1、2.3 等比数列 2.3.3 等比数列的前n项和(二),Contents Page,明目标知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.会用等比数列前n项和公式解决实际生活中的问题. 2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.,明目标、知重点,填要点记疑点,na1,AqnA,2.等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍构成 数列.(注意：q1或m为奇数) (2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比).,等比,q,探要点究所然,情境导学,上一节我们学习了等比数列的前n项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？这是我们本节研究的主要内容.,探究点一 等比数列前n项和公式在生活中的应用,例1 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国9 100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕

2、还林的面积共有多少万亩？(精确到万亩),解 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积(单位：万亩)组成一个等比数列an，其中a1515，q112%1.12，n6，则S6 4 179(万亩). 答 从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4 179万亩.,反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型，弄清数列的项数及等比数列的公比.,跟踪训练1 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？ 注：对于分期付款，银行有如下规定： (1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； (2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.,解 设每月应还贷x元，共付款1210120次，则有 x1(10.003 375)(10.003 375)2(10.003 375)119200 000(10.003 375)120，,答 每月应还贷款2 029.66元.,探究点二 等比

3、数列前n项和Sn的函数特征,思考1 设等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象又如何？ 答 当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的函数.当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比例函数ya1x图象上一些孤立的点.,思考2 设等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象又如何？,由此可见，q1时，由等比数列前n项和Sn构成的点列(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，(n，Sn)位于函数yA(qx1)的图象上.,答 当n1时，S1a1，当n1时，SnSn1an.,例2 设f(n)2242723n1 (nN*)，则f(n) _.,反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.,跟踪训练2 若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t， 则t_. 解析 显然q1，此时应有SnA(qn1)，,探究点三 等比数列前n项和的性质,思考1 等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，Smn与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？ 答 Sm

4、nSmqmSn. 证明如下： 左边Smn(a1a2am)(am1am2amn)Sm(a1qma2qmanqm) Sm(a1a2an)qmSmqmSn右边， SmnSmqmSn.,思考2 在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列.即Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列.怎样证明这个关系？ 答 在等比数列an中有amnamqn， Sma1a2am， S2mSmam1am2a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm. 同理S3mS2mSmq2m， 在Sm0时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列.,例3 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2(nN*)，在数列bn中，b11，点P(bn，bn1)在直线xy20上. (1)求数列an，bn的通项公式； 解 由Sn2an2，得Sn12an12(n2)，,又a12a12，a12， an是以2为首项，以2为公比的等比数列，an2n.,点P(bn，bn1)在直线xy20上， bnbn120，即bn1bn2， bn是等差数列，b11，bn2n1.,(2)记Tna1b1a2b2anbn，求Tn

5、. 解 Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n 2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1 得： Tn122(22232n)(2n1)2n1,242n8(2n1)2n1 (32n)2n16， Tn(2n3)2n16.,反思与感悟 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.,跟踪训练3 在等比数列an中，an0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列an的通项公式； 解 a1a52a3a5a2a825，,又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2， a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51.,解 bnlog2an5n，bn1bn1， bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，,当堂测查疑缺,1,2,3,1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_. 解析 设最底层灯的盏数为a1，,4,192,1,2,3,4,2.已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零

6、的常数且a1)，则数列an_. 一定是等差数列； 一定是等比数列； 或者是等差数列，或者是等比数列； 既非等差数列，也非等比数列.,1,2,3,4,解析 当n2时，anSnSn1(a1)an1； 当n1时，a1a1，an(a1)an1，nN*. 答案 ,1,2,3,4,3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为_. 解析 由题意得S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3，即S21S143，S2163.,63,1,2,3,4,4.在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_. 解析 当n1时，a1S13k， 当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k) 3n3n123n1. 由题意知an为等比数列，所以a13k2， k1.,1,呈重点、现规律,1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列. 2.等比数列中用到的数学思想： (1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论； 研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a11或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列.,

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