【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件：3.3.1 第1课时 二元一次不等式表示的平面区域2

1、3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第1课时 二元一次不等式表示的平面区域,【自主预习】 主题:二元一次不等式表示的平面区域 1.以二元一次方程x-y-4=0的解为坐标的点表示的图形是什么?它把平面分成几部分?,提示:表示一条直线如图,它把平面分成3部分,即直线上、左上方区域和右下方区域.,2.分别将点P1,P2,P3,P4的坐标代入x-y-4中,计算其值,可得到一个什么样的结论?,提示:通过代入,计算其值,可知所得值都小于0.,3.根据2中的计算,直线x-y-4=0左上方任意一点的坐标(x,y)都满足一个什么关系式?反之如何? 提示:x-y-40,反之若x-y-40,则以这个不等式的解为坐标的点的集合是直线x-y-4=0左上方的平面区域.,根据上面的探究过程,试着完成下面的填空. 二元一次不等式: (1)概念:含有_未知数,并且未知数的次数是_的 不等式.,两个,1,(2)解集:满足二元一次不等式的x和y的取值构成_ _,所有这样的有序实数对(x,y)构成的_ _称为二元一次不等式的解集. 二元一次不等式表示的平面区域:(1)

2、在平面直角坐标 系中,二元一次不等式_表示直线_ 某一侧所有点组成的平面区域.,有序,实数对(x,y),集,合,Ax+By+C0,Ax+By+C=0,(2)若二元一次不等式表示的区域不包括边界,则把直 线画成_,若二元一次不等式表示的区域包括边界, 则把直线画成_.,虚线,实线,(3)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标 (x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都_.所以要确定 二元一次不等式表示的平面区域,在直线Ax+By+C=0的 _取任意一个特殊点(x0,y0),判断_的 符号即可.,相同,同一侧,Ax0+By0+C,【深度思考】 结合教材P84例1你认为应如何画出不等式Ax+By+C0 表示的平面区域? 第一步:_ _. 第二步:_. 第三步:_.,作边界,即在平面直角坐标系中画出直线Ax+,By+C=0,取特殊点定域,画出满足Ax+By+C0的平面区域,【预习小测】 1.下列给出的各式中,是二元一次不等式的是 ( ) (1)2xy.(2)2x3.(3)2x2-yx2. A.(1) B.(3)(4) C.(1)(5) D.(2)(6),【解析】选C.(1)(5)

3、符合二元一次不等式的两个特征, (2)中只含有一个未知数,(3)(6)中的最高次数为二次,(4)是一个等式.,2.不在3x+2y6表示的平面区域内的点是 ( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 【解析】选D.将每一点代入检验,只有点(2,0)不满足不等式.,3.若点(2,-3),(0,0)在直线x-y+b=0的两侧,则b的取值范围是_. 【解析】因为点(2,-3),(0,0)在直线x-y+b=0的两侧,所以(5+b)b0,解得-5b0. 答案:-5b0,4.原点与点(-1,10)在直线x+y-1=0的_(填“同侧”或“两侧”). 【解析】由0+0-10知原点与点(-1,10)在直线x+y-1=0的两侧.,5.画出不等式3x+2y-60表示的平面区域. 【解析】所求区域包含直线,用实线画出直线l:3x+2y-6=0. 将原点的坐标(0,0)代入3x+2y-6,得30+20-6=-60. 这样,就可以判定不等式3x+2y-60所表示的区域与原点位于直线3x+2y-6=0的同侧,即包含原点的那一侧(包含直线l),如图阴影部分.,【互动探究】 1.如何确定不等式

4、Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域?,提示:可在直线的某一侧取某个特殊点P(x0,y0)(通常取(0,0)作为测试点,若不等式Ax0+By0+C0成立,则不等式Ax+By+C0表示点P(x0,y0)所在的那一侧,否则表示直线Ax+By+C=0的另一侧.,2.在直线l外任取两点P(x1,y1),Q(x2,y2),若P,Q在l的同侧,则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C的符号有何关系? 提示:在直线同侧的所有点的坐标代入Ax+By+C均同号,即Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号.,3.若在直线l异侧任取两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C的积的符号又如何? 提示:若P,Q在l的异侧,则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号,即(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,【探究总结】 知识归纳:,方法总结: (1)根据点A(a,b)是否满足不等式Ax+By+C0判断二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面区域是直线的哪一侧. (2)平面区域不包括边界时,边界直线应画成虚线.,【题型探究】 类型一:二元一

5、次不等式表示的平面区域 【典例1】(1)(2016吉林高二检测)不等式2x-y0表示的平面区域(阴影部分)为 ( ),(2)画出2x-y-30表示的平面区域.,【解题指南】(1)先通过边界直线的斜率,排除A,B,再通过点(1,0)代入检验. (2)先画出直线2x-y-3=0,注意画成虚线,再把点(0,0)代入检验,从而确定不等式表示的平面区域.,【解析】(1)选D.根据二元一次不等式对应的直线方程为y=2x,斜率为2,排除A,B;将点(1,0)代入不等式2x-y 0满足,故表示的平面区域在直线2x-y=0的下方.,(2)所求区域不包含直线,用虚线画出直线l:2x-y-3=0.将原点的坐标(0,0)代入2x-y-3,得 20-0-3=-30所 表示的区域为不包含原点的那一侧, 如图阴影部分.,类型二:已知平面区域写出二元一次不等式 【典例2】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_.,(2)将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.,【解题指南】先求出边界对应的直线方程,然后根据阴影部分点的坐标满足的二元一次不等式即为所求.,【解析】(1)由截距式可得直线方程为 =1

6、,即y= - x+1.因为0- 0+1,且原点在阴影部分中,故阴影 部分可用不等式y- x+1,即x+2y-20表示. 答案:x+2y-20,(2)平面区域的边界线为虚线,方程为x=-2和x=2,所以平面区域满足的不等式是-20, 所以平面区域满足的不等式是2x+y0.,平面区域的边界线为实线,方程为 =1, 即x-y-2=0. 因为原点(0,0)在平面区域中且满足不等式x-y-20, 所以平面区域满足的不等式是x-y-20.,【规律总结】用不等式表示平面区域的步骤 (1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程. (2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向. (3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.,【巩固训练】如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来为_.,【解析】将原点(0,0)代入得0+40-4=-40,平面区域(阴影部分)不包含边界,故用不等式表示为x+4y-40. 答案:x+4y-40,类型三:二元一次不等式表示平面区域的应用 【典例3】已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式x+ay+10表示的平面区域内,求a的取值范围. 【解题指南

7、】先求出P关于原点的对称点P,然后将P与P坐标均代入x+ay+1,并使其值都大于0,列出关于a的不等式组求解.,【解析】点P(1,-2)关于原点的对称点P(-1,2), 由题意得: 解得0a1, 故a的取值范围是(0,1).,【延伸探究】1.(变换条件)本例若将条件“已知点P(1, -2)及其关于原点的对称点”改为“已知点P(1,-2)和原点”,其他条件不变,求a的取值范围.,【解析】由题意得 得a1. 故a的取值范围是(-,1).,2.(变换条件)本例若将条件“均在不等式x+ay+10表示的平面区域内”改为“在直线x+ay+1=0的两侧”,其他条件不变,求a的取值范围. 【解析】点P(1,-2)关于原点的对称点为P(-1,2), 由题意得(1-2a+1)(-1+2a+1)1或a0.故a的取值范围是(-,0)(1,+).,【规律总结】利用二元一次不等式对应的平面区域求参数值(范围)的步骤 (1)确定位置:根据题意确定点在坐标平面中的位置,从而判断点是否在不等式表示的平面区域内.,(2)找关系:利用点的位置得出含参数的关系式,即关于该参数的不等式. (3)解不等式:由所得到的含参数的不等式,解得参数的取值范围.,【巩固训练】1.如果点A(5,m)在两条平行直线6x-8y+1 =0及3x-4y+5=0之间,求实数m的取值范围. 【解析】因为点A(5,m)在两条平行直线之间且直线3x- 4y+5=0在直线6x-8y+1=0上方,所以65-8m+10,解得 m5.,2.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2, 1)的线段总有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.,【解析】由题意知直线l存在斜率, 则可设直线l的方程为kx-y-1=0. 由题意知,A,B两点有一点在直线l上或A,B两点在直线l的两侧,所以有(k+1)(2k-2)0,所以-1k1. 故所求k的取值范围是-1,1.,

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